Как решить уравнение √3sin²x – cos²x = 1, используя метод вспомогательного аргумента?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции решение уравнения алгебра 11 класс метод вспомогательного аргумента тригонометрические уравнения √3sin2x cos2x математические методы Новый

Для решения уравнения √3sin²x – cos²x = 1 с использованием метода вспомогательного аргумента, необходимо выполнить несколько шагов, которые помогут нам преобразовать уравнение и найти его корни.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Начнем с того, что у нас есть уравнение:

√3sin²x – cos²x = 1

Мы можем выразить cos²x через sin²x, используя основное тригонометрическое тождество:

sin²x + cos²x = 1,

откуда следует, что cos²x = 1 - sin²x.

Шаг 2: Подстановка

Подставим выражение для cos²x в наше уравнение:

√3sin²x – (1 - sin²x) = 1.

Раскроем скобки:

√3sin²x - 1 + sin²x = 1.

Шаг 3: Сбор всех членов в одну сторону

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

√3sin²x + sin²x - 1 - 1 = 0.

Упрощаем:

(√3 + 1)sin²x - 2 = 0.

Шаг 4: Решение относительно sin²x

Теперь выразим sin²x:

(√3 + 1)sin²x = 2.

Следовательно:

sin²x = 2 / (√3 + 1).

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на (√3 - 1):

sin²x = 2(√3 - 1) / ((√3 + 1)(√3 - 1)) = 2(√3 - 1) / (3 - 1) = (√3 - 1).

Шаг 5: Находим sinx

Теперь, чтобы найти sinx, мы берем корень из обеих сторон:

sin x = ±√(√3 - 1).

Шаг 6: Находим x

Теперь необходимо найти углы, для которых sin x = √(√3 - 1) и sin x = -√(√3 - 1). Это можно сделать, используя арксинус:

• x₁ = arcsin(√(√3 - 1)) + 2kπ, k ∈ Z;
• x₂ = π - arcsin(√(√3 - 1)) + 2kπ, k ∈ Z;
• x₃ = arcsin(-√(√3 - 1)) + 2kπ, k ∈ Z;
• x₄ = π - arcsin(-√(√3 - 1)) + 2kπ, k ∈ Z.

Заключение

Таким образом, мы получили все возможные решения уравнения √3sin²x – cos²x = 1, используя метод вспомогательного аргумента и тригонометрические тождества. Важно помнить, что для нахождения всех решений необходимо учитывать периодичность тригонометрических функций.