Как найти решение уравнения 4sin³x=3cos(x+3π/2) и определить, какие значения x находятся в пределах отрезка x∈[-2π; -π/2]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции решение уравнения 4sin³x 3cos(x+3π/2) значения x отрезок x∈[-2π; -π/2] алгебра 11 класс Новый

Для решения уравнения 4sin³x=3cos(x+3π/2) начнем с упрощения правой части уравнения.

Шаг 1: Упростим правую часть уравнения.

Мы знаем, что cos(x + 3π/2) можно выразить через синус:

• cos(x + 3π/2) = cos(x)cos(3π/2) - sin(x)sin(3π/2)
• cos(3π/2) = 0 и sin(3π/2) = -1, поэтому:
• cos(x + 3π/2) = 0 - (-sin(x)) = sin(x).

Таким образом, уравнение преобразуется в:

4sin³x = 3sin(x).

Шаг 2: Переносим все в одну сторону.

Переносим 3sin(x) в левую часть уравнения:

4sin³x - 3sin(x) = 0.

Шаг 3: Вынесем общий множитель.

Вынесем sin(x) за скобки:

sin(x)(4sin²x - 3) = 0.

Шаг 4: Найдем корни.

Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

1. sin(x) = 0
2. 4sin²x - 3 = 0

Решение первого уравнения:

sin(x) = 0, это происходит, когда:

• x = nπ, где n - целое число.

Решение второго уравнения:

4sin²x - 3 = 0:

• 4sin²x = 3
• sin²x = 3/4
• sin(x) = ±√(3/4) = ±√3/2.

Таким образом, мы имеем три случая:

• sin(x) = 0
• sin(x) = √3/2
• sin(x) = -√3/2

Шаг 5: Найдем значения x в пределах отрезка [-2π; -π/2].

Теперь найдем все возможные значения x для каждого случая в заданном интервале.

1. Для sin(x) = 0:

• x = -2π, -π, 0 (но 0 не входит в интервал).

2. Для sin(x) = √3/2:

• Это происходит в точках x = -π/3 + 2nπ.
• Для n = -1, получаем x = -π/3 - 2π = -7π/3 (не входит в интервал).
• Для n = 0, получаем x = -π/3 (не входит в интервал).

3. Для sin(x) = -√3/2:

• Это происходит в точках x = -2π/3 + 2nπ.
• Для n = -1, получаем x = -2π/3 - 2π = -8π/3 (не входит в интервал).
• Для n = 0, получаем x = -2π/3 (не входит в интервал).

Таким образом, единственным решением уравнения на отрезке [-2π; -π/2] является:

• x = -2π.

Ответ: x = -2π.