Чтобы определить экстремумы функции F(x) = e^(x)(2x - 3), необходимо выполнить несколько шагов. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте рассмотрим процесс поэтапно.

1. Найдите производную функции F(x).

Для этого воспользуемся правилом произведения, так как функция F(x) является произведением двух функций: e^(x) и (2x - 3).

Если u = e^(x) и v = (2x - 3), то производная F(x) будет:

F'(x) = u'v + uv'

Где:

• u' = e^(x) (производная e^(x))
• v' = 2 (производная (2x - 3))

Теперь подставим значения:

F'(x) = e^(x)(2x - 3)' + (2x - 3)e^(x)' = e^(x)(2) + (2x - 3)e^(x)

Соберем все вместе:

F'(x) = e^(x)(2 + 2x - 3) = e^(x)(2x - 1)

2. Приравняйте производную к нулю.

Теперь найдем нули производной:

e^(x)(2x - 1) = 0

Поскольку e^(x) никогда не равен нулю, мы можем упростить это уравнение до:

2x - 1 = 0

Решим это уравнение:

2x = 1

x = 1/2

3. Определите, является ли найденная точка экстремумом.

Для этого можно использовать второй производный тест или просто исследовать знак первой производной в окрестности найденной точки.

Вычислим вторую производную F''(x):

F''(x) = (e^(x)(2x - 1))' = e^(x)(2x - 1)' + (2x - 1)e^(x)' = e^(x)(2) + (2x - 1)e^(x)

Таким образом, F''(x) = e^(x)(2 + 2x - 1) = e^(x)(2x + 1).

Теперь подставим x = 1/2:

F''(1/2) = e^(1/2)(2(1/2) + 1) = e^(1/2)(1 + 1) = 2e^(1/2),

которое больше нуля.

Это означает, что в точке x = 1/2 находится минимум функции F(x).

4. Подведите итог.

Таким образом, мы нашли, что функция F(x) = e^(x)(2x - 3) имеет минимум в точке x = 1/2.