Как можно определить экстремумы функции y = x² / (x² - 1)?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций экстремумы функции определение экстремумов алгебра 11 класс y = x² / (x² - 1) анализ функции математический анализ нахождение максимумов и минимумов Новый

Чтобы определить экстремумы функции y = x² / (x² - 1), нам нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте пройдемся по шагам:

1. Найти производную функции. Для этого воспользуемся правилом деления производных. Если у нас есть функция в виде y = u/v, то ее производная y' = (u'v - uv') / v², где u = x² и v = x² - 1.
2. Вычислим производные u и v:
   • u' = 2x
   • v' = 2x
3. Подставим в формулу производной:

   y' = (2x * (x² - 1) - x² * 2x) / (x² - 1)²

   Упростим числитель:

   y' = (2x(x² - 1) - 2x³) / (x² - 1)² = (2x(x² - 1 - x²)) / (x² - 1)² = (2x(-1)) / (x² - 1)² = -2x / (x² - 1)²

4. Найти критические точки: Теперь нам нужно решить уравнение y' = 0. Это происходит, когда числитель равен нулю:

-2x = 0

Отсюда следует, что x = 0.

5. Проверить, где производная не существует: Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:

(x² - 1)² = 0

Это происходит, когда x² - 1 = 0, то есть x = 1 или x = -1.

6. Определить характер критических точек: Для этого используем тест на знак производной. Мы можем взять промежутки, которые разделены найденными критическими точками (x = -1, x = 0, x = 1) и проверить знак производной в каждом из них:
• Для x < -1, например, x = -2: y' = -2(-2) / ((-2)² - 1)² > 0 (возрастающая)
• Для -1 < x < 0, например, x = -0.5: y' < 0 (убывающая)
• Для 0 < x < 1, например, x = 0.5: y' < 0 (убывающая)
• Для x > 1, например, x = 2: y' > 0 (возрастающая)
7. Сделать выводы: Мы видим, что функция имеет максимум в точке x = -1 и минимум в точке x = 1. Также в точке x = 0 функция не меняет знак производной, поэтому это не экстремум.

Таким образом, мы определили экстремумы функции y = x² / (x² - 1): максимум в x = -1 и минимум в x = 1.