Как можно определить максимальное и минимальное значение функции f(x) = 1/3x^3 + 1/2x^2 - 12x + 1 на интервале [0;6]?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций максимальное значение функции минимальное значение функции f(x) = 1/3x^3 интервал [0;6] алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить максимальное и минимальное значение функции f(x) = 1/3x^3 + 1/2x^2 - 12x + 1 на интервале [0;6], необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).

   Для этого используем правила дифференцирования:

   • Производная от x^n = n*x^(n-1).
   • Производная от константы равна 0.

   Таким образом, производная f'(x) будет равна:

   f'(x) = x^2 + x - 12.

2. Найдите критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем f'(x) к нулю:

   x^2 + x - 12 = 0.

   Эту квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-12) = 1 + 48 = 49.
   • Корни уравнения: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a).

   Таким образом, корни будут:

   • x1 = ( -1 + 7 ) / 2 = 3,
   • x2 = ( -1 - 7 ) / 2 = -4.

   Критическая точка на интервале [0;6] - это x = 3.

3. Определите значения функции в критических точках и на границах интервала.

   Нам нужно найти значения функции f(x) в точках x = 0, x = 3 и x = 6:

   • f(0) = 1/3*0^3 + 1/2*0^2 - 12*0 + 1 = 1.
   • f(3) = 1/3*3^3 + 1/2*3^2 - 12*3 + 1 = 1/3*27 + 1/2*9 - 36 + 1 = 9 + 4.5 - 36 + 1 = -21.5.
   • f(6) = 1/3*6^3 + 1/2*6^2 - 12*6 + 1 = 1/3*216 + 1/2*36 - 72 + 1 = 72 + 18 - 72 + 1 = 19.
4. Сравните полученные значения.

   Теперь у нас есть значения функции:

   • f(0) = 1,
   • f(3) = -21.5,
   • f(6) = 19.

   Максимальное значение на интервале [0;6] равно 19 (при x = 6), а минимальное значение равно -21.5 (при x = 3).

Таким образом, максимальное значение функции f(x) на интервале [0;6] равно 19, а минимальное значение равно -21.5.