Чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на заданном множестве, необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим это на примерах, которые вы привели.

1. Наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на множестве E.

Для функции f(x) = 3x^5 - 25x^3 + 60x + 7 на множестве E = [0; 2]:

1. Сначала найдем производную функции f(x) и определим стационарные точки. Производная f'(x) = 15x^4 - 75x^2 + 60.
2. Решим уравнение f'(x) = 0. Это можно сделать, вынеся общий множитель:
• 15(x^4 - 5x^2 + 4) = 0.
• Решим квадратное уравнение: x^4 - 5x^2 + 4 = 0, подставив y = x^2. Получаем y^2 - 5y + 4 = 0.
• Решаем это уравнение с помощью дискриминанта: D = 25 - 16 = 9, y1 = (5 + 3) / 2 = 4, y2 = (5 - 3) / 2 = 1.
• Таким образом, x^2 = 4 и x^2 = 1, откуда x = ±2 и x = ±1. Оставляем только x = 1 в пределах [0; 2].
3. Теперь нужно проверить значения функции в границах и в стационарной точке:
• f(0) = 7,
• f(1) = 3(1)^5 - 25(1)^3 + 60(1) + 7 = 45,
• f(2) = 3(2)^5 - 25(2)^3 + 60(2) + 7 = 39.
4. Сравниваем значения: наименьшее значение = 7, наибольшее значение = 45.

Теперь для функции f(x) = -2sin(2x) + cos(4x) на множестве E = [0; π/3]:

1. Находим производную: f'(x) = -4cos(2x) - 4sin(4x).
2. Решаем уравнение f'(x) = 0, что может быть сложнее, так как оно не имеет простого аналитического решения. Поэтому нужно использовать численные методы или графический анализ.
3. Проверяем значения в границах: f(0) и f(π/3).

2. Как найти стационарные точки функции.

Для функции f(x) = 3x^4 - 8x^2 - 6x^2 + 24x + 3:

1. Находим производную: f'(x) = 12x^3 - 16x - 6.
2. Решаем уравнение f'(x) = 0. Это кубическое уравнение, которое можно решить численно или графически.

3. Как определить экстремумы функции.

Для функции f(x) = 3x^3 - 50x^2 + 185x + 4:

1. Находим производную: f'(x) = 9x^2 - 100x + 185.
2. Решаем уравнение f'(x) = 0, используя дискриминант и формулы корней квадратного уравнения.
3. Аналогично для функции f(x) = x^4 - 8x^3 + 22x - 24x + 5.

После нахождения стационарных точек нужно проверить знак производной в этих точках и в окрестностях, чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами.

Надеюсь, это поможет вам разобраться в задаче! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.