Чтобы определить область определения функции, нужно выяснить, при каких значениях x выражение функции будет иметь смысл. В данном случае функция состоит из нескольких частей, и для каждой из них нужно провести анализ.

Функция имеет вид:

y = √(10x - 3x² - 3) + 3x/√(x - 4) - 1/(25 - 4x²)

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
• 10x - 3x² - 3 ≥ 0.
• Решим неравенство:
• Перепишем его в стандартной форме: -3x² + 10x - 3 ≥ 0.
• Умножим на -1 (неравенство изменит знак): 3x² - 10x + 3 ≤ 0.
• Найдем корни квадратного уравнения 3x² - 10x + 3 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64.
• Корни: x₁ = (10 + √64) / (2 * 3) = 2.67 и x₂ = (10 - √64) / (2 * 3) = 0.11.
• Парабола открыта вверх, поэтому неравенство 3x² - 10x + 3 ≤ 0 выполняется на интервале [0.11, 2.67].

• Здесь необходимо, чтобы √(x - 4) было положительным:
• x - 4 > 0, следовательно, x > 4.

• Здесь важно, чтобы знаменатель не равнялся нулю:
• 25 - 4x² ≠ 0.
• Решим уравнение 25 - 4x² = 0:
• 4x² = 25, x² = 25/4, x = ±5/2.
• Таким образом, x не может равняться ±2.5.

Теперь объединим все полученные условия:

• Первое слагаемое требует: 0.11 ≤ x ≤ 2.67.
• Второе слагаемое требует: x > 4.
• Третье слагаемое требует: x ≠ 2.5.

Объединяя все условия, мы видим, что они не пересекаются. Таким образом, область определения функции:

Область определения функции: x > 4.