Как можно определить область определения функции y=√(10x-3x^2-3)+3x/√(x-4) - 1/(25-4x^2)?

Пожалуйста, помогите, не помню, как это решать.

Алгебра 11 класс Область определения функции область определения функции алгебра 11 класс решение функции квадратный корень рациональная функция определение области алгебраические функции Новый

Чтобы определить область определения функции, нужно выяснить, при каких значениях x выражение функции будет иметь смысл. В данном случае функция состоит из нескольких частей, и для каждой из них нужно провести анализ.

Функция имеет вид:

y = √(10x - 3x² - 3) + 3x/√(x - 4) - 1/(25 - 4x²)

1. Анализ первого слагаемого: √(10x - 3x² - 3)

• Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
• 10x - 3x² - 3 ≥ 0.
• Решим неравенство:
• Перепишем его в стандартной форме: -3x² + 10x - 3 ≥ 0.
• Умножим на -1 (неравенство изменит знак): 3x² - 10x + 3 ≤ 0.
• Найдем корни квадратного уравнения 3x² - 10x + 3 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64.
• Корни: x₁ = (10 + √64) / (2 * 3) = 2.67 и x₂ = (10 - √64) / (2 * 3) = 0.11.
• Парабола открыта вверх, поэтому неравенство 3x² - 10x + 3 ≤ 0 выполняется на интервале [0.11, 2.67].

2. Анализ второго слагаемого: 3x/√(x - 4)

• Здесь необходимо, чтобы √(x - 4) было положительным:
• x - 4 > 0, следовательно, x > 4.

3. Анализ третьего слагаемого: -1/(25 - 4x²)

• Здесь важно, чтобы знаменатель не равнялся нулю:
• 25 - 4x² ≠ 0.
• Решим уравнение 25 - 4x² = 0:
• 4x² = 25, x² = 25/4, x = ±5/2.
• Таким образом, x не может равняться ±2.5.

Теперь объединим все полученные условия:

• Первое слагаемое требует: 0.11 ≤ x ≤ 2.67.
• Второе слагаемое требует: x > 4.
• Третье слагаемое требует: x ≠ 2.5.

Объединяя все условия, мы видим, что они не пересекаются. Таким образом, область определения функции:

Ответ:

Область определения функции: x > 4.