Как можно определить производную функции:

1. а) y=x^2+3x+4, найдите y';
2. б) y=sin(1/3)x; y=3^(2x); y=cos(1/8)x; y=e^(8x);
3. в) Найдите значение функции y=x^2+4x-3 и проанализируйте её.

Алгебра 11 класс Производные и их применение производная функции алгебра 11 класс определение производной нахождение производной анализ функции значение функции y=x^2 y=sin(1/3)x y=3^(2x) y=cos(1/8)x y=e^(8x) функции и производные Новый

Давайте разберем каждый из пунктов вашего задания по порядку.

а) Найдем производную функции y = x^2 + 3x + 4.

• Для нахождения производной, мы будем использовать правила дифференцирования. Основные правила, которые нам понадобятся, это:
• Производная суммы функций: (f + g)' = f' + g'.
• Производная степени: (x^n)' = n*x^(n-1).
• Теперь применим эти правила к нашей функции:
1. Производная от x^2: (x^2)' = 2x.
2. Производная от 3x: (3x)' = 3.
3. Производная от константы 4: (4)' = 0.
• Теперь сложим все найденные производные:
y' = 2x + 3.

б) Найдем производные для следующих функций:

• y = sin(1/3)x:
1. Используем правило цепочки: (sin(kx))' = k*cos(kx).
2. В нашем случае k = 1/3, следовательно, производная будет: y' = (1/3) * cos((1/3)x).
• y = 3^(2x):
1. Производная экспоненты: (a^(kx))' = k*a^(kx)*ln(a).
2. Здесь k = 2 и a = 3, поэтому: y' = 2 * 3^(2x) * ln(3).
• y = cos(1/8)x:
1. Используем правило цепочки: (cos(kx))' = -k*sin(kx).
2. Таким образом, производная: y' = -(1/8) * sin((1/8)x).
• y = e^(8x):
1. Производная от e^(kx) равна k*e^(kx).
2. Здесь k = 8, следовательно, производная: y' = 8 * e^(8x).

в) Найдем значение функции y = x^2 + 4x - 3 и проанализируем её.

• Для нахождения значения функции, подставим конкретное значение x. Например, пусть x = 1:
1. Подставляем: y = (1)^2 + 4*(1) - 3.
2. Вычисляем: y = 1 + 4 - 3 = 2.
• Теперь проанализируем функцию:
1. Это квадратная функция, так как наибольший член имеет степень 2.
2. График этой функции будет параболой, открытой вверх, так как коэффициент перед x^2 положительный.
3. Вершина параболы находится по формуле x = -b/(2a), где a = 1 и b = 4:
1. x = -4/(2*1) = -2.
2. Теперь подставим x = -2 в функцию: y = (-2)^2 + 4*(-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7.
4. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, -7), что является минимумом функции.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно больше примеров, не стесняйтесь спрашивать!