Каковы значения x, при которых выполняется неравенство f'(x) > 0, если функция задана как f(x) = 6x^2 - x^3?

Также, как можно найти скорость точки в момент времени t = 3 секунды, если её движение описывается законом s = t^4 - 2t^2 (м)?

Алгебра 11 класс Производные и их применение алгебра 11 класс неравенство производная f'(x) > 0 функция f(x) = 6x^2 - x^3 значения x скорость точки момент времени t = 3 секунды Движение закон s = t^4 - 2t^2 скорость производная пути алгебраические уравнения Новый

Для решения первого вопроса, начнем с нахождения производной функции f(x) = 6x^2 - x^3.

1. Находим производную:
   • Используем правило дифференцирования: (ax^n)' = n * ax^(n-1).
   • Для функции f(x) = 6x^2 - x^3, производная будет:
   • f'(x) = 12x - 3x^2.
2. Решаем неравенство f'(x) > 0:
   • Записываем неравенство: 12x - 3x^2 > 0.
   • Выносим общий множитель: 3x(4 - x) > 0.
3. Находим нули производной:
   • Решаем уравнение 3x(4 - x) = 0.
   • Нули находятся при x = 0 и x = 4.
4. Определяем знаки на интервалах:
   • Рассмотрим интервалы: (-∞, 0), (0, 4), (4, +∞).
   • Выбираем тестовые точки:
   • Для x < 0, например x = -1: 3(-1)(4 - (-1)) = 3(-1)(5) < 0.
   • Для 0 < x < 4, например x = 2: 3(2)(4 - 2) = 3(2)(2) > 0.
   • Для x > 4, например x = 5: 3(5)(4 - 5) = 3(5)(-1) < 0.
5. Записываем ответ:
   • Неравенство f'(x) > 0 выполняется на интервале (0, 4).

Теперь перейдем ко второму вопросу о скорости точки в момент времени t = 3 секунды.

1. Находим скорость:
   • Скорость определяется как производная функции перемещения s(t) по времени t.
   • Функция перемещения задана как s(t) = t^4 - 2t^2.
2. Находим производную s(t):
   • s'(t) = 4t^3 - 4t.
3. Подставляем t = 3:
   • s'(3) = 4(3^3) - 4(3) = 4(27) - 12 = 108 - 12 = 96.
4. Записываем ответ:
   • Скорость точки в момент времени t = 3 секунды равна 96 м/с.