Как решить уравнение:

f'(x) = 0, если f(x) = (x ^ 4)/4 + 2/3 * x ^ 3 - (x ^ 2)/2 - 2x?

f'(x)=0; f(x)=(x^{4}/4) + (2/3) * x^{3} - (x^{2}/2) - 2x

Алгебра 11 класс Производные и их применение решение уравнения производная функции алгебра 11 класс f'(x) = 0 нахождение корней уравнения анализ функции математический анализ уравнение четвёртой степени Новый

Чтобы решить уравнение f'(x) = 0, сначала необходимо найти производную функции f(x). Давайте начнем с нахождения производной.

Функция задана как:

f(x) = (x^4)/4 + (2/3) * x^3 - (x^2)/2 - 2x

Теперь найдем производную f'(x). Используем правила дифференцирования:

• Производная x^n = n * x^(n-1).
• Производная константы равна 0.

Применим эти правила к каждому члену функции:

1. Производная (x^4)/4 = (4/4) * x^(4-1) = x^3.
2. Производная (2/3) * x^3 = (2/3) * 3 * x^(3-1) = 2 * x^2.
3. Производная -(x^2)/2 = -(2/2) * x^(2-1) = -x.
4. Производная -2x = -2.

Теперь сложим все найденные производные:

f'(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2

Теперь, чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим уравнение:

x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0

Для решения этого кубического уравнения можно использовать метод подбора или теорему Виета. Попробуем подставить некоторые значения x:

• При x = -2: (-2)^3 + 2*(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0. Значит, x = -2 является корнем.

Теперь, зная один корень, можно разложить полином на множители. Используем деление многочленов:

Разделим x^3 + 2x^2 - x - 2 на (x + 2):

После деления получаем:

x^3 + 2x^2 - x - 2 = (x + 2)(x^2 + 0x - 1)

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 1 = 0:

Корни этого уравнения:

• x^2 - 1 = 0 => x^2 = 1 => x = ±1.

Таким образом, у нас есть три корня:

• x = -2,
• x = 1,
• x = -1.

Итак, уравнение f'(x) = 0 имеет следующие решения: x = -2, x = 1, x = -1.