Помогите решить, пожалуйста, срочно надо!!!

1. Найдите производные функций:
   • А) y = x^6
   • б) y = 2
   • в) y = 5/x
   • г) y = 3 - 5x
   • д) y = 8√x + 0,5cosx
   • е) y = sinx / x
   • ж) y = x * ctg x
   • з) y = (5x + 1)^7
2. Какой угол образует касательная к графику функции y = x^8/8 – x^5/5 - x√3 – 3 в точке x0 = 1 с положительным лучом оси абсцисс?
3. Каково значение f'(x), если f(x) = 2cosx + x^2 + 5?
4. Какова скорость точки в момент времени t = 3с, если ее движение описывается законом s = t^4 – t^2 (м)?
5. При каких значениях x выполняется неравенство f'(x) < 0, если f(x) = 81x – 3x^3?
6. При каких значениях x выполняется равенство f'(x) = 0, если f(x) = cos2x - x√3 и x ∈ [0, 4π]?

Алгебра 11 класс Производные и их применение алгебра 11 класс производные функций касательная угол значение производной скорость точки неравенство производной равенство производной Новый

Давайте разберем все ваши вопросы по порядку.

1. Найдите производные функций:

1. y = x^6

Для нахождения производной используем правило степени: y' = n * x^(n-1). Здесь n = 6.

y' = 6x^(6-1) = 6x^5.

2. y = 2

Производная константы равна нулю.

y' = 0.

3. y = 5/x

Перепишем функцию как y = 5x^(-1). Используем правило степени.

y' = -5x^(-2) = -5/x^2.

4. y = 3 - 5x

Производная постоянной равна нулю, а производная -5x равна -5.

y' = 0 - 5 = -5.

5. y = 8√x + 0,5cosx

Производная 8√x = 8 * (1/2)x^(-1/2) = 4/x^(1/2).

Производная 0,5cosx = -0,5sinx.

y' = 4/x^(1/2) - 0,5sinx.

6. y = sinx / x

Используем правило производной частного: (u/v)' = (u'v - uv')/v^2, где u = sinx, v = x.

u' = cosx, v' = 1.

y' = (cosx * x - sinx * 1) / x^2 = (xcosx - sinx) / x^2.

7. y = x * ctg x

Используем правило произведения: (uv)' = u'v + uv'.

u = x, v = ctg x, u' = 1, v' = -csc^2 x.

y' = 1 * ctg x + x * (-csc^2 x) = ctg x - xcsc^2 x.

8. y = (5x + 1)^7

Используем правило цепочки: (g(x))' = g'(x) * g(x). Здесь g(x) = 5x + 1, g'(x) = 5.

y' = 7(5x + 1)^(7-1) * 5 = 35(5x + 1)^6.

2. Какой угол образует касательная к графику функции y = x^8/8 – x^5/5 - x√3 – 3 в точке x0 = 1 с положительным лучом оси абсцисс?

Сначала найдем производную функции:

y' = x^7 - x^4 - √3.

Теперь подставим x0 = 1:

y'(1) = 1^7 - 1^4 - √3 = 1 - 1 - √3 = -√3.

Угол наклона α можно найти по формуле tan(α) = y'.

Таким образом, α = arctan(-√3). Угол будет отрицательным, так как касательная наклонена вниз.

3. Каково значение f'(x), если f(x) = 2cosx + x^2 + 5?

Находим производную:

f'(x) = -2sinx + 2x.

Это выражение и будет значением производной.

4. Какова скорость точки в момент времени t = 3с, если ее движение описывается законом s = t^4 – t^2 (м)?

Скорость - это производная перемещения по времени:

s' = 4t^3 - 2t.

Теперь подставим t = 3:

s'(3) = 4(3^3) - 2(3) = 4(27) - 6 = 108 - 6 = 102 м/с.

5. При каких значениях x выполняется неравенство f'(x) < 0, если f(x) = 81x – 3x^3?

Сначала найдем производную:

f'(x) = 81 - 9x^2.

Теперь решим неравенство:

81 - 9x^2 < 0.

9x^2 > 81 => x^2 > 9 => |x| > 3.

Таким образом, x < -3 или x > 3.

6. При каких значениях x выполняется равенство f'(x) = 0, если f(x) = cos2x - x√3 и x ∈ [0, 4π]?

Находим производную:

f'(x) = -2sin2x - √3.

Теперь приравниваем к нулю:

-2sin2x - √3 = 0 => sin2x = -√3/2.

Решаем это уравнение. Углы, при которых синус равен -√3/2, находятся в третьем и четвертом квадранте:

2x = 4π/3 + 2kπ и 2x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Следовательно, x = 2π/3 + kπ и x = 5π/6 + kπ.

Теперь подставляем k = 0, 1, 2, 3, чтобы найти значения x в интервале [0, 4π].