Похожие вопросы
2024-11-13 01:11:19
Вычислите значение производной функции в точке х0=-1 для у=(х-1)^2/(x^2+1).
Алгебра 11 класс Производные и их применение алгебра 11 класс производная функция вычисление значение точка х0 у дробная функция квадрат x-1 x^2+1
2024-11-13 01:11:19
Чтобы найти значение производной функции y = (x - 1)^2 / (x^2 + 1) в точке x₀ = -1, нам нужно следовать нескольким шагам.
-
Найти производную функции.
- Функция дана в виде отношения двух функций: числитель u(x) = (x - 1)^2 и знаменатель v(x) = x^2 + 1.
- Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
-
Найдем производные u'(x) и v'(x):
- u(x) = (x - 1)^2, следовательно, u'(x) = 2(x - 1) (используем правило производной сложной функции).
- v(x) = x^2 + 1, следовательно, v'(x) = 2x.
-
Подставим в формулу производной частного:
- y'(x) = [(2(x - 1))(x^2 + 1) - (x - 1)^2(2x)] / (x^2 + 1)^2.
-
Упростить выражение для y'(x).
- Раскроем скобки в числителе: 2(x - 1)(x^2 + 1) = 2x^3 + 2x - 2x^2 - 2.
- (x - 1)^2(2x) = 2x(x^2 - 2x + 1) = 2x^3 - 4x^2 + 2x.
- Числитель: [2x^3 + 2x - 2x^2 - 2] - [2x^3 - 4x^2 + 2x] = 2x^3 + 2x - 2x^2 - 2 - 2x^3 + 4x^2 - 2x.
- Упростим: 0x^3 + 2x^2 - 2 = 2x^2 - 2.
- Таким образом, y'(x) = (2x^2 - 2) / (x^2 + 1)^2.
-
Подставить x₀ = -1 в производную.
- y'(-1) = (2(-1)^2 - 2) / ((-1)^2 + 1)^2.
- Вычислим числитель: 2(1) - 2 = 0.
- Вычислим знаменатель: (1 + 1)^2 = 4.
- Таким образом, y'(-1) = 0 / 4 = 0.
Итак, значение производной функции в точке x₀ = -1 равно 0.
