Как можно определить производную функции f(x) = x * cos(x) в точке x0 = π/2?

Алгебра 11 класс Производные и дифференцирование функций производная функции f(x) = x * cos(x) точка x0 = π/2 определение производной алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить производную функции f(x) = x * cos(x) в точке x0 = π/2, мы воспользуемся правилом дифференцирования произведения. Это правило гласит, что если у нас есть две функции u(x) и v(x), то производная их произведения определяется как:

(u v)' = u' v + u * v'

В нашем случае:

• u(x) = x
• v(x) = cos(x)

Теперь найдем производные u'(x) и v'(x):

• u'(x) = 1 (производная x по x)
• v'(x) = -sin(x) (производная cos(x) по x)

Теперь подставим найденные производные в правило дифференцирования произведения:

f'(x) = u' v + u v'

Подставляем:

f'(x) = 1 cos(x) + x (-sin(x))

Упрощаем:

f'(x) = cos(x) - x * sin(x)

Теперь нам нужно найти значение производной в точке x0 = π/2. Подставим это значение в полученную формулу:

f'(π/2) = cos(π/2) - (π/2) * sin(π/2)

Зная, что:

• cos(π/2) = 0
• sin(π/2) = 1

Теперь подставим эти значения:

f'(π/2) = 0 - (π/2) * 1

Таким образом:

f'(π/2) = -π/2

Итак, производная функции f(x) = x * cos(x) в точке x0 = π/2 равна -π/2.