Чтобы найти производную функции f(x) = 1/4 * x^4 + 1/2 * x^2 + 5, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте разберем шаги по порядку:

1. Определение функции: Мы имеем функцию f(x),которая состоит из трех частей: 1/4 * x^4, 1/2 * x^2 и 5.
2. Правила дифференцирования:
   • Производная x^n равна n * x^(n-1).
   • Производная константы равна 0.
3. Находим производные каждой части функции:
   • Для первой части 1/4 * x^4:
     • Применяем правило: n = 4, тогда производная будет 4 * (1/4) * x^(4-1) = x^3.
   • Для второй части 1/2 * x^2:
     • Применяем правило: n = 2, тогда производная будет 2 * (1/2) * x^(2-1) = x.
   • Для третьей части 5:
     • Поскольку 5 — это константа, производная будет 0.
4. Складываем все найденные производные:
   • Производная функции f'(x) = x^3 + x + 0.
5. Записываем окончательный ответ:
   • Таким образом, производная функции f(x) = 1/4 * x^4 + 1/2 * x^2 + 5 равна f'(x) = x^3 + x.

Итак, мы нашли производную функции. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!