Чтобы вычислить производную функции f(x) = x^2 - √x в точке x0 = 16, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс подробно.

Сначала мы найдем производную функции f(x). Для этого вспомним некоторые правила дифференцирования:

• Производная x^n = n*x^(n-1)
• Производная корня: производная √x = (1/2)*x^(-1/2)

Теперь применим эти правила к нашей функции:

1. Производная от x^2 равна 2x.
2. Производная от √x равна (1/2)*x^(-1/2).

Таким образом, производная функции f(x) будет равна:

f'(x) = 2x - (1/2)*x^(-1/2).

Теперь, когда мы нашли производную, подставим x0 = 16 в найденную производную:

f'(16) = 2*16 - (1/2)*(16^(-1/2)).

Посчитаем каждую часть:

1. 2*16 = 32.
2. 16^(-1/2) = 1/√16 = 1/4, следовательно, (1/2)*(16^(-1/2)) = (1/2)*(1/4) = 1/8.

Теперь подставим эти значения в производную:

f'(16) = 32 - 1/8.

Чтобы вычесть 1/8 из 32, нужно представить 32 в виде дроби с тем же знаменателем:

32 = 32*8/8 = 256/8.

Теперь вычтем:

f'(16) = 256/8 - 1/8 = 255/8.

Таким образом, производная функции f(x) = x^2 - √x в точке x0 = 16 равна 255/8.