Чтобы вычислить производную функции y = ln(arctg(2x)),нам нужно использовать правила дифференцирования, такие как правило производной сложной функции (правило цепочки) и производные известных функций. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определим функцию:
   • y = ln(u),где u = arctg(2x).
2. Найдем производную y по u:
   • Производная ln(u) равна 1/u.
3. Теперь найдем производную u по x:
   • u = arctg(2x). Используем правило производной арктангенса: d(arctg(v))/dx = 1/(1 + v^2) * dv/dx.
   • В нашем случае v = 2x, тогда dv/dx = 2.
   • Таким образом, производная u по x будет: d(u)/dx = 1/(1 + (2x)^2) * 2 = 2/(1 + 4x^2).
4. Теперь применим правило цепочки:
   • Производная y по x равна: dy/dx = (dy/du) * (du/dx).
   • Подставляем найденные значения: dy/dx = (1/u) * (2/(1 + 4x^2)).
   • Теперь подставим u: dy/dx = (1/arctg(2x)) * (2/(1 + 4x^2)).

Итак, окончательная производная функции y = ln(arctg(2x)):

dy/dx = (2/(arctg(2x) * (1 + 4x^2))).