Чтобы определить сумму целых решений неравенства 2x^2 < 5x + 12, сначала нужно преобразовать его в более удобный вид. Для этого мы перенесем все члены на одну сторону неравенства:

1. Переносим 5x и 12:
2. 2x^2 - 5x - 12 < 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Следующий шаг - найти корни соответствующего квадратного уравнения:

1. Решим уравнение 2x^2 - 5x - 12 = 0 с помощью дискриминанта.
2. Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a = 2, b = -5, c = -12:
3. D = (-5)^2 - 4 * 2 * (-12) = 25 + 96 = 121.

Корень D равен 121, что является полным квадратом, поэтому у нас два различных корня:

1. Используем формулу для нахождения корней: x = (-b ± √D) / (2a).
2. Подставляем значения: x1 = (5 + √121) / (2 * 2) = (5 + 11) / 4 = 16 / 4 = 4.
3. x2 = (5 - √121) / (2 * 2) = (5 - 11) / 4 = -6 / 4 = -3/2.

Таким образом, корни уравнения 2x^2 - 5x - 12 = 0 равны x1 = 4 и x2 = -3/2.

Теперь определим, на каком интервале неравенство 2x^2 - 5x - 12 < 0 выполняется. Мы знаем, что парабола открыта вверх (так как коэффициент при x^2 положительный), и она будет меньше нуля между корнями:

• Корни: x = -3/2 и x = 4.
• Интервал, где 2x^2 - 5x - 12 < 0: (-3/2, 4).

Теперь определим целые значения x, которые лежат в этом интервале:

• Целые значения: -1, 0, 1, 2, 3.

Теперь найдем сумму целых решений:

1. Сумма = -1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5.

Таким образом, сумма целых решений неравенства 2x^2 < 5x + 12 равна 5.