Как можно определить точки экстремума для функции f(x)=3x^4 - 4x^3 + 2?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций определение экстремума точки экстремума функции алгебра 11 класс производная функции анализ функции критические точки максимум и минимум нахождение экстремумов Новый

Чтобы определить точки экстремума функции f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2, необходимо следовать нескольким шагам, связанным с нахождением производной и ее анализом.

Шаг 1: Найдите первую производную функции.

Первая производная функции f(x) обозначается как f'(x) и показывает скорость изменения функции. Найдем производную:

• f'(x) = d/dx(3x^4) - d/dx(4x^3) + d/dx(2)
• f'(x) = 12x^3 - 12x^2

Шаг 2: Найдите критические точки.

Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Установим f'(x) = 0:

• 12x^3 - 12x^2 = 0
• 12x^2(x - 1) = 0

Теперь решим это уравнение:

• 12x^2 = 0 → x = 0
• x - 1 = 0 → x = 1

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 1.

Шаг 3: Найдите вторую производную функции.

Вторая производная f''(x) поможет определить, является ли критическая точка точкой максимума или минимума:

• f''(x) = d/dx(12x^3 - 12x^2)
• f''(x) = 36x^2 - 24x

Шаг 4: Проверьте критические точки с помощью второй производной.

Теперь подставим найденные критические точки в f''(x):

• Для x = 0:
• f''(0) = 36(0)^2 - 24(0) = 0
• Для x = 1:
• f''(1) = 36(1)^2 - 24(1) = 36 - 24 = 12 > 0

Так как f''(1) > 0, это означает, что в точке x = 1 функция имеет минимум.

Шаг 5: Проверьте точку x = 0.

Поскольку f''(0) = 0, мы не можем сделать вывод о типе экстремума в этой точке с помощью второй производной. В этом случае нужно использовать первый производный тест или проверить значения функции вокруг этой точки.

Итак, итог:

• Точка x = 1 является точкой минимума.
• Точка x = 0 требует дополнительного анализа для определения типа экстремума.