Как можно определить точки экстремума функции y = x^3 - 3x + 2?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций определение точек экстремума функция y = x^3 - 3x + 2 алгебра 11 класс методы нахождения экстремумов производная функции анализ функции решение задач по алгебре Новый

Чтобы определить точки экстремума функции y = x^3 - 3x + 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти производную функции.

   Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю или не существует. Сначала найдем производную функции y:

   y' = (x^3)' - (3x)' + (2)' = 3x^2 - 3.

2. Приравнять производную к нулю.

   Теперь мы находим точки, где производная равна нулю:

   3x^2 - 3 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 3x^2 = 3
   • x^2 = 1
   • x = ±1.
3. Найти значения функции в этих точках.

   Теперь подставим найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

   • Для x = 1: y(1) = 1^3 - 3*1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0.
   • Для x = -1: y(-1) = (-1)^3 - 3*(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4.
4. Определить, являются ли найденные точки экстремумами.

   Для этого используем второй производный тест. Найдем вторую производную:

   y'' = (3x^2)' = 6x.

   Теперь проверим вторую производную в найденных точках:

   • Для x = 1: y''(1) = 6*1 = 6 (положительно, значит, это минимум).
   • Для x = -1: y''(-1) = 6*(-1) = -6 (отрицательно, значит, это максимум).

Таким образом, у нас есть:

• Точка минимума: (1, 0).
• Точка максимума: (-1, 4).

Итак, мы определили точки экстремума функции y = x^3 - 3x + 2. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!