Как можно определить значение производной данной функции в указанной точке x0?

1. а) y=e^x/(x+1), x0=0
2. б) y=e^(0,5x)-3, x0=4

Алгебра 11 класс Производная функции значение производной функция точка x0 алгебра 11 класс производная функции e^x e^(0,5x) Новый

Чтобы определить значение производной функции в указанной точке x0, мы можем использовать определение производной как предела разности значений функции в двух близких точках. Однако, в большинстве случаев удобнее использовать правила дифференцирования. Давайте рассмотрим оба примера по отдельности.

а) y = e^x / (x + 1), x0 = 0

Для нахождения производной функции y = e^x / (x + 1) воспользуемся правилом частного. Если у нас есть функция в виде u/v, то производная этой функции вычисляется по формуле:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Где:

• u = e^x, u' = e^x (производная экспоненты)
• v = x + 1, v' = 1 (производная линейной функции)

Теперь подставим эти значения в формулу:

1. u'v = e^x * (x + 1)
2. uv' = e^x * 1 = e^x
3. Теперь подставляем в формулу производной:
4. (e^x * (x + 1) - e^x * 1) / (x + 1)^2 = (e^x * x) / (x + 1)^2

Теперь нам нужно найти значение производной в точке x0 = 0:

Подставляем x = 0:

• y' = (e^0 * 0) / (0 + 1)^2 = 0 / 1 = 0

Таким образом, значение производной функции y = e^x / (x + 1) в точке x0 = 0 равно 0.

б) y = e^(0.5x) - 3, x0 = 4

Для нахождения производной функции y = e^(0.5x) - 3 воспользуемся правилом дифференцирования экспоненциальной функции. Производная функции e^(kx) равна k * e^(kx), где k - константа.

В нашем случае:

• k = 0.5, поэтому производная будет: y' = 0.5 * e^(0.5x)

Теперь найдем значение производной в точке x0 = 4:

Подставляем x = 4:

• y' = 0.5 * e^(0.5 * 4) = 0.5 * e^2

Таким образом, значение производной функции y = e^(0.5x) - 3 в точке x0 = 4 равно 0.5 * e^2.

В заключение:

• Для функции a) производная в точке x0 = 0 равна 0.
• Для функции b) производная в точке x0 = 4 равна 0.5 * e^2.