Как можно определить значение выражения 2S, если S обозначает площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=x^2-2x+1 и графиком её производной?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций значение выражения 2S площадь фигуры график функции производная функции алгебра 11 класс Новый

Для того чтобы определить значение выражения 2S, где S обозначает площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x^2 - 2x + 1 и графиком её производной, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции y = x^2 - 2x + 1. Используем правило дифференцирования:

• Производная x^2 равна 2x.
• Производная -2x равна -2.
• Производная константы 1 равна 0.

Таким образом, производная функции будет:

y' = 2x - 2.

Шаг 2: Найти точки пересечения графиков

Теперь найдем точки пересечения графиков функции и её производной, то есть решим уравнение:

x^2 - 2x + 1 = 2x - 2.

Переносим все в одну сторону:

x^2 - 4x + 3 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем его дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4.

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

x1 = (4 + sqrt(4)) / 2 = 3,

x2 = (4 - sqrt(4)) / 2 = 1.

Шаг 3: Найти площадь S

Теперь мы можем найти площадь S, ограниченную графиками на интервале [1, 3]. Для этого вычислим интеграл от разности функций:

S = ∫[1, 3] ((x^2 - 2x + 1) - (2x - 2)) dx.

Упростим выражение под интегралом:

S = ∫[1, 3] (x^2 - 4x + 3) dx.

Теперь найдем неопределенный интеграл:

∫(x^2 - 4x + 3) dx = (x^3 / 3) - (4x^2 / 2) + 3x = (x^3 / 3) - 2x^2 + 3x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

S = [(3^3 / 3) - 2(3^2) + 3(3)] - [(1^3 / 3) - 2(1^2) + 3(1)].

Вычисляем:

S = [9 - 18 + 9] - [1/3 - 2 + 3] = 0 - [1/3 + 1] = -1/3.

Поскольку площадь не может быть отрицательной, мы берем модуль:

S = 1/3.

Шаг 4: Найти значение 2S

Теперь мы можем найти значение 2S:

2S = 2 * (1/3) = 2/3.

Таким образом, значение выражения 2S равно 2/3.