Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

• y = -x^2 + 3x + 4
• y = x + 1

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций алгебра 11 класс площадь фигуры вычисление площади ограниченные линии графики функций парабола линейная функция пересечение графиков интегралы задачи по алгебре математический анализ Новый

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти точки пересечения линий

Сначала определим, где линии пересекаются. Для этого приравняем уравнения:

• y = -x^2 + 3x + 4
• y = x + 1

Приравняем правые части уравнений:

-x^2 + 3x + 4 = x + 1

Переносим все в одну сторону:

-x^2 + 3x + 4 - x - 1 = 0

Упрощаем:

-x^2 + 2x + 3 = 0

Умножим уравнение на -1:

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Корни уравнения:

x1 = (2 + sqrt(16)) / 2 = 5 / 2 = 2.5

x2 = (2 - sqrt(16)) / 2 = -1

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 2.5.

Шаг 2: Найти значения y в точках пересечения

Теперь подставим найденные значения x в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y.

• Для x = -1:

y = -(-1)^2 + 3(-1) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0

• Для x = 2.5:

y = -(2.5)^2 + 3(2.5) + 4 = -6.25 + 7.5 + 4 = 5.25

Таким образом, точки пересечения: (-1, 0) и (2.5, 5.25).

Шаг 3: Вычислить площадь фигуры

Теперь мы можем найти площадь, используя интеграл. Площадь между двумя кривыми от x = -1 до x = 2.5 вычисляется по формуле:

Площадь = интеграл от (-1) до (2.5) (верхняя функция - нижняя функция) dx.

Определим, какая функция выше в пределах от -1 до 2.5:

• Для x = 0: y = -0^2 + 3(0) + 4 = 4 и y = 0 + 1 = 1. Кривая y = -x^2 + 3x + 4 выше.

Теперь можем записать интеграл:

Площадь = интеграл от (-1) до (2.5) ( (-x^2 + 3x + 4) - (x + 1) ) dx.

Упрощаем выражение под интегралом:

Площадь = интеграл от (-1) до (2.5) ( -x^2 + 3x + 4 - x - 1 ) dx = интеграл от (-1) до (2.5) ( -x^2 + 2x + 3 ) dx.

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь вычислим этот интеграл:

Интеграл (-x^2 + 2x + 3) dx = -(x^3)/3 + x^2 + 3x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = [-(2.5)^3/3 + (2.5)^2 + 3(2.5)] - [ -(-1)^3/3 + (-1)^2 + 3(-1) ].

Вычисляем:

• Для x = 2.5: -15.625/3 + 6.25 + 7.5 = -5.2083 + 6.25 + 7.5 = 8.5417.
• Для x = -1: 1/3 + 1 - 3 = 1/3 - 2 = -5/3 = -1.6667.

Теперь найдем разность:

Площадь = 8.5417 - (-1.6667) = 8.5417 + 1.6667 = 10.2084.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна примерно 10.2084 квадратных единиц.