Чтобы построить график функции y = (x + 2)e^(1 - x) и провести её исследование, следуем следующим шагам:

Функция y = (x + 2)e^(1 - x) состоит из двух частей: (x + 2) и e^(1 - x). Поскольку экспоненциальная функция e^(1 - x) определена для всех x, область определения данной функции также будет всей числовой прямой:

Область определения: x ∈ R

Для исследования функции нам необходимо найти её производную. Используем правило произведения:

y' = (u * v)' = u'v + uv', где u = (x + 2) и v = e^(1 - x).

• u' = 1
• v = e^(1 - x) и v' = -e^(1 - x)

Теперь подставим в формулу:

y' = (1)e^(1 - x) + (x + 2)(-e^(1 - x)) = e^(1 - x) - (x + 2)e^(1 - x) = (1 - (x + 2))e^(1 - x) = (1 - x - 2)e^(1 - x) = (-x - 1)e^(1 - x).

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

(-x - 1)e^(1 - x) = 0.

Поскольку e^(1 - x) никогда не равно нулю, решаем:

-x - 1 = 0, откуда x = -1.

Теперь исследуем знак производной на интервалах:

• При x < -1: y' > 0 (функция возрастает)
• При x = -1: y' = 0 (критическая точка)
• При x > -1: y' < 0 (функция убывает)

Таким образом, в точке x = -1 функция имеет максимум.

Теперь найдем значение функции в критической точке:

y(-1) = (-1 + 2)e^(1 - (-1)) = 1 * e^2 = e^2.

Теперь исследуем поведение функции при x → -∞ и x → +∞:

• При x → -∞: y → ∞ (поскольку (x + 2) → ∞ и e^(1 - x) → ∞)
• При x → +∞: y → 0 (поскольку (x + 2) → ∞, а e^(1 - x) → 0)

Теперь, зная, что функция имеет максимум в точке (-1, e^2) и стремится к бесконечности при x → -∞ и к нулю при x → +∞, можем построить график:

• Начинаем с точки (-1, e^2), где функция достигает максимума.
• Функция убывает после x = -1 и стремится к 0 при x → +∞.
• Функция возрастает, когда x < -1 и стремится к бесконечности при x → -∞.

Таким образом, мы получили полное исследование функции y = (x + 2)e^(1 - x) и можем построить её график, учитывая все найденные характеристики.