Как можно построить график функции y = |x+3| + |1-x|? Пожалуйста, укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности и нули функции.

Алгебра 11 класс Графики функций график функции область определения множество значений промежутки монотонности нули функции алгебра 11 класс Новый

Чтобы построить график функции y = |x+3| + |1-x|, нам нужно выполнить несколько шагов: определить область определения, множество значений, промежутки монотонности и нули функции.

1. Область определения

Функция y = |x+3| + |1-x| определена для всех значений x, так как абсолютные значения могут принимать любые значения. Таким образом, область определения:

• x ∈ R (все действительные числа)

2. Нули функции

Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение:

|x+3| + |1-x| = 0

Поскольку сумма двух абсолютных значений равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю, мы можем записать:

• |x+3| = 0 → x + 3 = 0 → x = -3
• |1-x| = 0 → 1 - x = 0 → x = 1

Таким образом, у функции есть два нуля: x = -3 и x = 1.

3. Множество значений

Чтобы найти множество значений функции, рассмотрим поведение функции на различных интервалах, определенных точками -3 и 1. Мы можем разбить ось x на три интервала:

• x < -3
• -3 ≤ x < 1
• x ≥ 1

4. Определим функцию на каждом интервале:

1. Для x < -3:

   В этом интервале x + 3 < 0 и 1 - x > 0, следовательно:

   y = -(x + 3) + (1 - x) = -x - 3 + 1 + x = -2.

2. Для -3 ≤ x < 1:

   Здесь x + 3 ≥ 0 и 1 - x > 0, следовательно:

   y = (x + 3) + (1 - x) = x + 3 + 1 - x = 4.

3. Для x ≥ 1:

   В этом интервале x + 3 ≥ 0 и 1 - x ≤ 0, следовательно:

   y = (x + 3) - (1 - x) = x + 3 - 1 + x = 2x + 2.

5. Множество значений:

Теперь мы можем определить множество значений функции:

• Для x < -3, y = -2 (константа).
• Для -3 ≤ x < 1, y = 4 (константа).
• Для x ≥ 1, y = 2x + 2 (линейная функция, которая растет от 4 до бесконечности).

Следовательно, множество значений функции: y ≥ -2.

6. Промежутки монотонности:

Теперь определим, на каких интервалах функция возрастает или убывает:

• На интервале x < -3 функция постоянна (y = -2).
• На интервале -3 ≤ x < 1 функция постоянна (y = 4).
• На интервале x ≥ 1 функция возрастает (y = 2x + 2).

Таким образом, мы получили все необходимые характеристики функции y = |x+3| + |1-x| для построения графика. Теперь можно изобразить график, учитывая полученные данные:

• График будет горизонтальной линией на уровне y = -2 для x < -3.
• График будет горизонтальной линией на уровне y = 4 для -3 ≤ x < 1.
• График будет линейной функцией с положительным наклоном (y = 2x + 2) для x ≥ 1.