Как можно построить график параболы для уравнения y=-x^(2)+4x+3 и определить её решения?

Алгебра 11 класс Параболы и их свойства график параболы уравнение y=-x^(2)+4x+3 решения параболы построение графика алгебра 11 класс анализ параболы Новый

Для построения графика параболы, заданной уравнением y = -x^2 + 4x + 3, и определения её решений, мы можем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Сначала мы можем привести уравнение к стандартному виду параболы. Уравнение y = -x^2 + 4x + 3 можно переписать в виде:

y = -(x^2 - 4x) + 3.

Теперь давайте выделим полный квадрат в скобках:

x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4.

Таким образом, уравнение можно записать как:

y = -((x - 2)^2 - 4) + 3 = -(x - 2)^2 + 4 + 3 = -(x - 2)^2 + 7.

Теперь у нас есть уравнение параболы в виде:

y = -(x - 2)^2 + 7.

Шаг 2: Определение вершины параболы

Из уравнения видно, что вершина параболы находится в точке (2, 7). Это значит, что максимальное значение функции (так как парабола направлена вниз) равно 7, и оно достигается при x = 2.

Шаг 3: Нахождение корней уравнения

Чтобы найти решения уравнения (то есть точки, в которых график пересекает ось x), нужно решить уравнение:

-x^2 + 4x + 3 = 0.

Перепишем его в стандартной форме:

x^2 - 4x - 3 = 0.

Теперь мы можем использовать дискриминант D для нахождения корней:

• D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -4, c = -3.
• D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-3) = 16 + 12 = 28.

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Мы можем найти их с помощью формулы:

• x1 = ( -b + √D ) / (2a) = (4 + √28) / 2 = 2 + √7.
• x2 = ( -b - √D ) / (2a) = (4 - √28) / 2 = 2 - √7.

Шаг 4: Построение графика

Теперь, когда мы знаем вершину и корни параболы, мы можем построить график:

• Вершина (2, 7) - это максимальная точка.
• Корни (2 + √7, 0) и (2 - √7, 0) - это точки пересечения с осью x.
• Парабола направлена вниз, так как коэффициент при x^2 отрицательный.

На графике мы можем отметить вершину и корни, а затем провести кривую, показывающую форму параболы.

Итог:

График параболы y = -x^2 + 4x + 3 имеет вершину в точке (2, 7) и пересекает ось x в двух точках: (2 + √7, 0) и (2 - √7, 0).