Для того чтобы понять, при каких значениях m вершины парабол y = -x^2 - 6mx + m и y = x^2 - 4mx - 2 находятся по одну сторону от оси x, необходимо сначала найти координаты вершин этих парабол.

Вершина параболы имеет координаты, которые можно найти по формуле x = -b/(2a),где a и b - это коэффициенты при x^2 и x соответственно.

Рассмотрим первую параболу y = -x^2 - 6mx + m:

• Здесь a = -1, b = -6m, c = m.
• Координата x вершины: x1 = -(-6m)/(2*(-1)) = 6m/2 = 3m.

Теперь подставим x1 в уравнение, чтобы найти y1:

• y1 = - (3m)^2 - 6m*(3m) + m = -9m^2 - 18m^2 + m = -27m^2 + m.

Теперь найдем вершину второй параболы y = x^2 - 4mx - 2:

• a = 1, b = -4m, c = -2.
• Координата x вершины: x2 = -(-4m)/(2*1) = 4m/2 = 2m.

Теперь подставим x2 в уравнение, чтобы найти y2:

• y2 = (2m)^2 - 4m*(2m) - 2 = 4m^2 - 8m^2 - 2 = -4m^2 - 2.

Теперь у нас есть вершины парабол:

• Вершина первой параболы: (3m, -27m^2 + m).
• Вершина второй параболы: (2m, -4m^2 - 2).

Теперь необходимо определить, при каких значениях m обе вершины находятся по одну сторону от оси x. Это означает, что y1 и y2 должны быть либо больше нуля, либо меньше нуля одновременно.

Рассмотрим оба случая:

• -27m^2 + m > 0:
1. m(-27m + 1) > 0.
2. m(1 - 27m) > 0.
3. m < 0 или m > 1/27.
• -4m^2 - 2 > 0:
1. -4m^2 > 2.
2. m^2 < -1, что невозможно.

• -27m^2 + m < 0:
1. m(-27m + 1) < 0.
2. 0 < m < 1/27.
• -4m^2 - 2 < 0:
1. -4m^2 > 2.
2. m^2 < -1, что невозможно.

Таким образом, единственный случай, когда вершины обеих парабол находятся по одну сторону от оси x, это случай 1, но он не дает реальных решений для y2.

Итак, мы можем заключить, что значения m, при которых вершины парабол находятся по одну сторону от оси x, не существуют.