Как можно представить многочлен в виде суммы или разности квадратов двух выражений для следующих случаев:

1. а4(степени)+17a²+16
2. x²+y²-10x+14y+74
3. 2x²-6xy+9y²-6x+9
4. x²-y²-4x-2y+3

Алгебра 11 класс Разложение многочленов на множители многочлен сумма квадратов разность квадратов алгебра 11 класс представление многочлена квадратные выражения факторизация многочлена алгебраические выражения решение уравнений примеры многочленов Новый

Чтобы представить многочлен в виде суммы или разности квадратов, нужно использовать методы выделения полного квадрата и разложения на множители. Давайте рассмотрим каждый из предложенных случаев по отдельности.

1. Многочлен: 4a^4 + 17a² + 16

Для начала, давайте сделаем замену: пусть x = a². Тогда многочлен можно переписать как:

4x² + 17x + 16.

Теперь мы попробуем разложить его на множители. Найдем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 17² - 4 * 4 * 16 = 289 - 256 = 33.

Поскольку дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Однако, чтобы представить его в виде суммы квадратов, попробуем выделить полный квадрат:

4a^4 + 17a² + 16 = (2a² + 4)² + 1.

2. Многочлен: x² + y² - 10x + 14y + 74

Сначала сгруппируем члены:

(x² - 10x) + (y² + 14y) + 74.

Теперь выделим полный квадрат для каждой группы:

• x² - 10x = (x - 5)² - 25,
• y² + 14y = (y + 7)² - 49.

Теперь подставим обратно:

((x - 5)² - 25) + ((y + 7)² - 49) + 74.

Это упрощается до:

(x - 5)² + (y + 7)² + 0 = (x - 5)² + (y + 7)².

3. Многочлен: 2x² - 6xy + 9y² - 6x + 9

Сначала сгруппируем члены:

2x² - 6xy + 9y² - 6x + 9.

Объединим квадраты:

2(x² - 3xy + (9/2)y²) - 6x + 9.

Теперь выделим полный квадрат:

x² - 3xy + (9/2)y² = (x - (3/2)y)² + (9/4)y².

Таким образом, получаем:

2((x - (3/2)y)² + (9/4)y²) - 6x + 9.

Это можно представить как:

2((x - (3/2)y)²) + (9/2)y² - 6x + 9.

4. Многочлен: x² - y² - 4x - 2y + 3

Сначала сгруппируем члены:

(x² - 4x) - (y² + 2y) + 3.

Теперь выделим полный квадрат для каждой группы:

• x² - 4x = (x - 2)² - 4,
• - (y² + 2y) = -((y + 1)² - 1) = -(y + 1)² + 1.

Теперь подставим обратно:

((x - 2)² - 4) - ((y + 1)² - 1) + 3.

Это упрощается до:

(x - 2)² - (y + 1)² + 0 = (x - 2)² - (y + 1)².

Таким образом, мы представили каждый многочлен в виде суммы или разности квадратов. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!