Как можно проанализировать функцию и построить график функции y=(2x^2-4x+4)/(x-1)?

Пожалуйста, помогите с детальным объяснением!

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков анализ функции построение графика алгебра 11 класс функция y=(2x^2-4x+4)/(x-1) график функции математический анализ свойства функции Новый

Для анализа функции y = (2x^2 - 4x + 4) / (x - 1) и построения ее графика, мы можем следовать следующим шагам:

1. Определение области определения функции

Область определения функции - это все значения x, для которых функция имеет смысл. В данном случае, функция имеет смысл, если знаменатель не равен нулю.

• Знаменатель: x - 1 = 0
• Решая это уравнение, находим: x = 1

Таким образом, область определения функции будет: x ∈ R, x ≠ 1.

2. Нахождение нулей функции

Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Для этого нужно решить уравнение числителя:

• 2x^2 - 4x + 4 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 2 * 4 = 16 - 32 = -16

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней, следовательно, функция не имеет нулей.

3. Нахождение вертикальных асимптот

Вертикальные асимптоты возникают в точках, где функция не определена. Мы уже нашли, что функция не определена в x = 1. Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота x = 1.

4. Нахождение горизонтальных асимптот

Горизонтальные асимптоты определяются поведением функции при x стремящемся к бесконечности. Мы можем проанализировать предел:

• При x → ±∞, y = (2x^2 - 4x + 4) / (x - 1) ≈ 2x^2 / x = 2x.

Это означает, что при x стремящемся к бесконечности, функция также стремится к бесконечности, следовательно, горизонтальных асимптот у функции нет.

5. Нахождение производной и анализ функции

Для более глубокого анализа функции, можно найти производную:

• Используем правило частного: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2, где u = 2x^2 - 4x + 4, v = x - 1.

Находим производные:

• u' = 4x - 4
• v' = 1

Теперь подставляем в формулу:

• y' = [(4x - 4)(x - 1) - (2x^2 - 4x + 4)(1)] / (x - 1)^2

Упрощаем и находим критические точки, где y' = 0.

6. Построение графика функции

Теперь, когда мы проанализировали функцию, можем построить график:

• Отметьте вертикальную асимптоту x = 1.
• Отметьте поведение функции при x → ±∞.
• Найдите критические точки и определите интервалы возрастания и убывания функции.
• Постройте график, учитывая найденные асимптоты и критические точки.

Таким образом, мы проанализировали функцию и можем построить ее график, учитывая все найденные характеристики.