Как можно проанализировать функцию y=4x^4-6x^3 и построить ее график? Прошу дать подробное решение. СРОЧНО!

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков анализ функции график функции y=4x^4-6x^3 решение задачи алгебра 11 класс Новый

Для анализа функции y = 4x^4 - 6x^3 и построения ее графика, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим каждый из них подробно.

1. Определение области определения функции:

Функция y = 4x^4 - 6x^3 является многочленом, и многочлены определены для всех значений x. Таким образом, область определения:

• Область определения: x ∈ R (все действительные числа).

2. Нахождение производной:

Для анализа поведения функции, найдем первую производную:

• y' = d/dx(4x^4 - 6x^3) = 16x^3 - 18x^2.

3. Нахождение критических точек:

Для нахождения критических точек, приравняем производную к нулю:

• 16x^3 - 18x^2 = 0.
• Факторизуем: 2x^2(8x - 9) = 0.

Таким образом, критические точки:

• x1 = 0, x2 = 9/8.

4. Анализ знака производной:

Теперь проанализируем знак производной на интервалах, определенных критическими точками:

• Интервал (-∞, 0): y' > 0 (функция возрастает).
• Интервал (0, 9/8): y' < 0 (функция убывает).
• Интервал (9/8, +∞): y' > 0 (функция возрастает).

5. Нахождение значений функции в критических точках:

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = 4(0)^4 - 6(0)^3 = 0.
• y(9/8) = 4(9/8)^4 - 6(9/8)^3 = 4 * (6561/4096) - 6 * (729/512) = 0.5625.

6. Нахождение второго производного:

Для определения типа критических точек найдем вторую производную:

• y'' = d/dx(16x^3 - 18x^2) = 48x^2 - 36x.

Теперь подставим критические точки:

• y''(0) = -36 < 0 (максимум).
• y''(9/8) = 48(9/8)^2 - 36(9/8) = 27 > 0 (минимум).

7. Построение графика:

Теперь, имея всю необходимую информацию, можем построить график функции:

• Критическая точка (0, 0) - максимум.
• Критическая точка (9/8, 0.5625) - минимум.
• Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (9/8, +∞), убывает на интервале (0, 9/8).

С учетом всех этих данных, вы можете построить график функции, отметив критические точки и поведение функции на разных интервалах. Не забудьте также отметить оси координат и отметить точки, через которые проходит график.