Как можно проанализировать функцию y=x^4-x^3 и создать её график?

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков анализ функции график функции y=x^4-x^3 алгебра 11 класс построение графика свойства функции исследование функции Новый

Для анализа функции y = x^4 - x^3 и построения её графика, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберём их по порядку.

Шаг 1: Определение области определения

Функция y = x^4 - x^3 является многочленом, и область определения многочлена — это все действительные числа. Таким образом, область определения данной функции:

• x ∈ R

Шаг 2: Нахождение производной

Для анализа поведения функции, нам нужно найти её производную. Это поможет определить критические точки и исследовать монотонность функции.

• y' = d/dx (x^4 - x^3) = 4x^3 - 3x^2

Шаг 3: Нахождение критических точек

Критические точки находятся при равенстве производной нулю:

• 4x^3 - 3x^2 = 0

Факторизуем:

• x^2(4x - 3) = 0

Таким образом, критические точки:

• x = 0
• x = 3/4

Шаг 4: Исследование знаков производной

Теперь исследуем знаки производной на промежутках, которые образуются критическими точками:

• Для x < 0: y' > 0 (функция возрастает)
• Для 0 < x < 3/4: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > 3/4: y' > 0 (функция возрастает)

Шаг 5: Нахождение значений функции в критических точках

Теперь вычислим значения функции в критических точках:

• y(0) = 0^4 - 0^3 = 0
• y(3/4) = (3/4)^4 - (3/4)^3 = 81/256 - 64/256 = 17/256

Шаг 6: Исследование пределов

Посмотрим на поведение функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• При x → -∞: y → +∞ (так как старший член положителен)
• При x → +∞: y → +∞

Шаг 7: Построение графика

Теперь мы можем построить график функции:

• Функция возрастает на (-∞, 0)
• Функция убывает на (0, 3/4)
• Функция достигает максимума в точке (3/4, 17/256)
• Функция снова возрастает на (3/4, +∞)

График будет иметь форму "U", с максимумом в (3/4, 17/256) и пересечением с осью Y в точке (0, 0).

Теперь вы знаете, как проанализировать функцию y = x^4 - x^3 и построить её график. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!