Чтобы провести полное исследование функции и построить её график, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку:

1. Область определения функции:

   Для функции y = e^(-√2 cosx) область определения - все действительные числа, так как экспоненциальная функция определена для любого значения аргумента.

2. Нахождение периодичности:

   Функция y = e^(-√2 cosx) является периодической, так как cosx - периодическая функция с периодом 2π. Следовательно, период функции y также будет равен 2π.

3. Исследование на четность/нечетность:

   Проверим четность функции. Для этого заменим x на -x и посмотрим, изменится ли функция:

   • y(-x) = e^(-√2 cos(-x)) = e^(-√2 cosx) = y(x)

   Таким образом, функция четная.

4. Нахождение производной:

   Найдем первую производную функции, чтобы исследовать её на промежутки возрастания и убывания, а также найти экстремумы:

   • y' = d/dx [e^(-√2 cosx)] = e^(-√2 cosx) * (-√2)(-sinx) = √2 e^(-√2 cosx) sinx
5. Исследование на возрастание и убывание:

   Анализируем знак производной:

   • y' > 0, если sinx > 0, что происходит на интервалах (0, π) + 2kπ, где k - целое число.
   • y' < 0, если sinx < 0, что происходит на интервалах (π, 2π) + 2kπ.

   Следовательно, функция возрастает на интервалах (0, π) + 2kπ и убывает на интервалах (π, 2π) + 2kπ.

6. Нахождение экстремумов:

   Экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю:

   • y' = 0, когда sinx = 0, то есть x = kπ, где k - целое число.

   На этих точках производная меняет знак, следовательно, это точки минимума.

7. Построение графика:

   Теперь мы можем построить график функции, учитывая её периодичность, четность, точки минимума и интервалы возрастания и убывания. График будет симметричен относительно оси y и будет повторяться каждые 2π.

На этом исследование функции завершено. Мы определили её основные свойства и можем построить график на основе полученной информации.