Как можно разложить многочлен на множители 5y^2(y-4)+(4-y)^2?

Алгебра 11 класс Разложение многочленов на множители разложение многочлена многочлен на множители алгебра 11 класс примеры разложения математические выражения Новый

Чтобы разложить данный многочлен на множители, начнем с упрощения выражения:

1. Раскроем скобки:

• Первый член: 5y^2(y - 4) = 5y^3 - 20y^2.
• Второй член: (4 - y)^2 = (4 - y)(4 - y) = 16 - 8y + y^2.

Теперь объединим все части вместе:

5y^3 - 20y^2 + 16 - 8y + y^2.

2. Соберем подобные члены:

• Сначала соберем все члены с y^3: 5y^3.
• Теперь соберем все члены с y^2: -20y^2 + y^2 = -19y^2.
• Теперь соберем все члены с y: -8y.
• И, наконец, константу: +16.

Таким образом, мы можем записать многочлен в следующем виде:

5y^3 - 19y^2 - 8y + 16.

3. Теперь попробуем разложить этот многочлен на множители:

Для этого мы можем воспользоваться методом группировки или применить теорему Безу, подбирая корни многочлена.

4. Проверим, есть ли простые корни:

• Проверим, например, y = 1: 5(1)^3 - 19(1)^2 - 8(1) + 16 = 5 - 19 - 8 + 16 = -6 (не корень).
• Проверим y = 2: 5(2)^3 - 19(2)^2 - 8(2) + 16 = 40 - 76 - 16 + 16 = -36 (не корень).
• Проверим y = 4: 5(4)^3 - 19(4)^2 - 8(4) + 16 = 320 - 304 - 32 + 16 = 0 (это корень).

5. Разделим многочлен на (y - 4):

Теперь, зная, что y = 4 является корнем, мы можем разделить многочлен на (y - 4) с помощью деления многочленов.

После деления мы получим:

5y^2 - 4y - 4.

6. Теперь разложим 5y^2 - 4y - 4 на множители:

Мы можем использовать формулу для разложения квадратного трехчлена:

5y^2 - 4y - 4 = 5(y - 2)(y + 2/5).

7. Объединим все множители:

Итак, итоговое разложение нашего многочлена будет:

5(y - 4)(y - 2)(y + 2/5).

Таким образом, многочлен 5y^2(y - 4) + (4 - y)^2 разложен на множители.