Как можно разложить многочлен на множители в следующих примерах:

1. a) x^6 - 3x^4y + 3x²y² - y³
2. b) a³ - 8 - 6a(a - 2)
3. c) x³ + 3x² + 3x + 1
4. d) 8 - 12p + 6p² - p³

Алгебра 11 класс Разложение многочленов на множители разложение многочлена на множители примеры разложения многочленов алгебра 11 класс многочлены методы разложения многочленов алгебраические выражения Новый

Давайте разберем каждый из предложенных многочленов и попробуем разложить их на множители. Я объясню шаги, которые помогут вам понять, как это делать.

a) x^6 - 3x^4y + 3x²y² - y³

Этот многочлен можно рассматривать как кубическую форму по переменной x.

1. Сначала мы заметим, что многочлен можно сгруппировать:
2. Сгруппируем члены: (x^6 - 3x^4y + 3x²y²) - y³.
3. Теперь выделим общий множитель из первых трех членов:
4. Это будет: x²(x^4 - 3xy + 3y²) - y³.
5. Теперь заметим, что x^4 - 3xy + 3y² - это квадратный трехчлен, который можно разложить:
6. Он разлагается как (x² - y)³.
7. Таким образом, окончательное разложение: (x² - y)³.

b) a³ - 8 - 6a(a - 2)

Для этого многочлена сначала упростим его:

1. Раскроем скобки: a³ - 8 - 6a² + 12a.
2. Теперь соберем все члены: a³ - 6a² + 12a - 8.
3. Теперь мы можем заметить, что это многочлен третьей степени.
4. Используем формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), где b = 2.
5. Таким образом, a³ - 8 = (a - 2)(a² + 2a + 4).
6. Теперь у нас есть: (a - 2)(a² + 2a + 4) - 6a(a - 2).
7. Выносим общий множитель (a - 2): (a - 2)(a² + 2a + 4 - 6a) = (a - 2)(a² - 4a + 4).
8. Последний множитель можно разложить: (a - 2)(a - 2)² = (a - 2)³.

c) x³ + 3x² + 3x + 1

Этот многочлен можно разложить, заметив, что он имеет вид куба суммы:

1. Мы можем сгруппировать его как: (x³ + 3x² + 3x + 1) = (x + 1)³.
2. Это можно проверить, раскрыв скобки: (x + 1)(x + 1)(x + 1) = x³ + 3x² + 3x + 1.

d) 8 - 12p + 6p² - p³

Начнем с упрощения многочлена:

1. Перепишем его в стандартной форме: -p³ + 6p² - 12p + 8.
2. Выделим общий множитель (-1): -1(p³ - 6p² + 12p - 8).
3. Теперь мы можем попробовать разложить многочлен, используя метод группировки или формулы.
4. Мы можем заметить, что это многочлен третьей степени, и попробуем найти корни. Например, подставим p = 2: 2³ - 6(2)² + 12(2) - 8 = 0.
5. Значит, p - 2 - это один из множителей. Теперь разложим: p³ - 6p² + 12p - 8 = (p - 2)(p² - 4p + 4).
6. Второй множитель можно разложить: p² - 4p + 4 = (p - 2)².
7. Итак, окончательное разложение: -1(p - 2)³.

Таким образом, мы разложили все многочлены на множители. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!