Для разложения на множители выражений, содержащих кубы, мы можем использовать формулы разности и суммы кубов. Эти формулы выглядят следующим образом:

Формула разности кубов:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Формула суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Теперь давайте разложим на множители данные выражения:

• p^3 - q^3:

Используем формулу разности кубов:

p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)

• a^3 - 8:

Здесь 8 = 2^3, поэтому:

a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)

• 1 - x^3:

Это можно записать как 1^3 - x^3:

1 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1*x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)

• -x^3 + y^3:

Перепишем как y^3 - x^3:

-x^3 + y^3 = (y - x)(y^2 + yx + x^2)

• b^3 - 1/125:

Здесь 1/125 = (1/5)^3, поэтому:

b^3 - 1/125 = (b - 1/5)(b^2 + (1/5)b + (1/5)^2) = (b - 1/5)(b^2 + (1/5)b + 1/25)

• 1/27 - t^3:

Здесь 1/27 = (1/3)^3, поэтому:

1/27 - t^3 = (1/3 - t)((1/3)^2 + (1/3)t + t^2) = (1/3 - t)(1/9 + (1/3)t + t^2)

Теперь рассмотрим случаи, где применяются формулы суммы или разности кубов:

• 8x^3 + y^3:

Здесь 8x^3 = (2x)^3:

8x^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)

• 9a^3 + b^3:

Здесь 9a^3 = (3a)^3:

9a^3 + b^3 = (3a + b)((3a)^2 - (3a)b + b^2) = (3a + b)(9a^2 - 3ab + b^2)

• 1 - 27a^3:

Здесь 27a^3 = (3a)^3:

1 - 27a^3 = (1 - 3a)((1)^2 + (1)(3a) + (3a)^2) = (1 - 3a)(1 + 3a + 9a^2)

• 8m^3 - 64n^3:

Здесь 64n^3 = (4n)^3:

8m^3 - 64n^3 = 8(m^3 - 8n^3) = 8(m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)

• x^6 - 1/8z^2:

Здесь 1/8z^2 = (1/2z)^2:

x^6 - (1/2z)^2 = (x^3 - 1/2z)(x^3 + 1/2z)

• 1/8t^3 + 8s^3:

Здесь 1/8t^3 = (1/2t)^3 и 8s^3 = (2s)^3:

1/8t^3 + 8s^3 = (1/2t + 2s)((1/2t)^2 - (1/2t)(2s) + (2s)^2) = (1/2t + 2s)(1/4t^2 - ts + 4s^2)

Таким образом, мы разложили на множители все указанные выражения, используя формулы разности и суммы кубов.