Как можно разложить на множители выражение a^4 + a^2*b^2 + b^4?

Алгебра 11 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 11 класс выражение a^4 + a^2*b^2 + b^4 Новый

Чтобы разложить на множители выражение a^4 + a^2*b^2 + b^4, мы можем воспользоваться методом подбора и преобразования. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

1. Заметим структуру выражения: Это выражение можно рассматривать как квадрат суммы. Однако, в данном случае мы видим, что оно не является полным квадратом.
2. Введем новую переменную: Обозначим x = a^2 и y = b^2. Тогда наше выражение можно переписать как x^2 + xy + y^2.
3. Используем формулу разложения: Мы знаем, что выражение x^2 + xy + y^2 можно разложить на множители, используя формулу для суммы кубов. В данном случае, оно может быть представлено как:
   • (x + y)(x + ωy)(x + ω^2y), где ω - это комплексный корень из единицы, но нам это не нужно для реальных чисел.
4. Вернемся к оригинальным переменным: Мы можем заметить, что выражение a^4 + a^2*b^2 + b^4 можно разложить следующим образом: (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2, что является разностью квадратов.
5. Применим формулу разности квадратов: Мы можем записать это как: ((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab).

Таким образом, окончательно, мы получаем следующее разложение на множители:

a^4 + a^2*b^2 + b^4 = (a^2 + b^2 + ab)(a^2 + b^2 - ab).

Это и есть искомое разложение на множители.