Как можно решить иррациональные уравнения:

1. a) sqrt{x+6} - sqrt{x+1} = sqrt{2x-5}
2. b) sqrt{x-1} + sqrt{2x+6} = 6

Алгебра 11 класс Иррациональные уравнения иррациональные уравнения решение уравнений алгебра 11 класс квадратные корни методы решения уравнений Новый

Решение иррациональных уравнений может быть выполнено с помощью различных методов, включая возведение в квадрат для устранения радикалов. Давайте рассмотрим оба уравнения по отдельности.

a) sqrt{x+6} - sqrt{x+1} = sqrt{2x-5}

1. Первым шагом мы изолируем один из радикалов. В данном случае, мы можем оставить sqrt{2x-5} с правой стороны уравнения:
2. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикалов:
• (sqrt{x+6} - sqrt{x+1})^2 = (sqrt{2x-5})^2
3. Раскроем левую часть уравнения:
• x + 6 - 2*sqrt{(x+6)(x+1)} + x + 1 = 2x - 5
• После упрощения получаем: 7 - 2*sqrt{(x+6)(x+1)} = -5
4. Теперь переносим -5 в левую часть:
• 7 + 5 = 2*sqrt{(x+6)(x+1)}
• 12 = 2*sqrt{(x+6)(x+1)}
5. Делим обе стороны на 2:
• 6 = sqrt{(x+6)(x+1)}
6. Снова возводим обе стороны в квадрат:
• 36 = (x+6)(x+1)
7. Раскрываем скобки:
• 36 = x^2 + 7x + 6
8. Переносим все в одну сторону:
• x^2 + 7x - 30 = 0
9. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• D = 7^2 - 4*1*(-30) = 49 + 120 = 169
• Корни: x1 = (-7 + sqrt{169}) / 2 = 3, x2 = (-7 - sqrt{169}) / 2 = -10
10. Теперь проверяем корни в исходном уравнении:
• Для x = 3: sqrt{3+6} - sqrt{3+1} = sqrt{2*3-5} => 3 - 2 = 1 (верно)
• Для x = -10: sqrt{-10+6} - sqrt{-10+1} = sqrt{2*(-10)-5} (неверно, так как радикал не определен)
11. Таким образом, единственный корень: x = 3.

b) sqrt{x-1} + sqrt{2x+6} = 6

1. Сначала изолируем один из радикалов. Выразим sqrt{2x+6}:
• sqrt{2x+6} = 6 - sqrt{x-1}
2. Теперь возводим обе стороны в квадрат:
• (sqrt{2x+6})^2 = (6 - sqrt{x-1})^2
3. Раскрываем квадраты:
• 2x + 6 = 36 - 12*sqrt{x-1} + (x-1)
4. Упрощаем уравнение:
• 2x + 6 = x + 35 - 12*sqrt{x-1}
• x - 29 = -12*sqrt{x-1}
5. Переносим sqrt{x-1} в одну сторону:
• 12*sqrt{x-1} = 29 - x
6. Делим обе стороны на 12:
• sqrt{x-1} = (29 - x)/12
7. Возводим обе стороны в квадрат:
• x - 1 = (29 - x)^2 / 144
8. Умножаем обе стороны на 144:
• 144(x - 1) = (29 - x)^2
9. Раскрываем квадрат:
• 144x - 144 = 841 - 58x + x^2
10. Переносим все в одну сторону:
• x^2 - 202x + 985 = 0
11. Решаем квадратное уравнение:
• D = (-202)^2 - 4*1*985 = 40804 - 3940 = 36864
• Корни: x1 = (202 + sqrt{36864}) / 2, x2 = (202 - sqrt{36864}) / 2
• Находим корни: x1 = 196, x2 = 6.
12. Проверяем корни в исходном уравнении:
• Для x = 196: sqrt{196-1} + sqrt{2*196+6} = 14 + 28 = 42 (неверно)
• Для x = 6: sqrt{6-1} + sqrt{2*6+6} = 2 + 6 = 8 (верно)
13. Итак, единственный корень: x = 6.

Таким образом, мы нашли решения для обоих уравнений:

• a) x = 3
• b) x = 6