Как можно решить неравенство 1 - 2 sin(4x) < cos²(4x)?

Алгебра 11 класс Неравенства с тригонометрическими функциями решение неравенства алгебра 11 класс тригонометрические функции sin и cos неравенства с синусом и косинусом Новый

Для решения неравенства 1 - 2 sin(4x) < cos²(4x) начнем с преобразования его в более удобный вид.

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество.

Мы знаем, что cos²(4x) = 1 - sin²(4x). Подставим это в неравенство:

1 - 2 sin(4x) < 1 - sin²(4x).

Шаг 2: Упрощаем неравенство.

Теперь вычтем 1 из обеих сторон:

-2 sin(4x) < -sin²(4x).

Умножим обе стороны на -1 (не забываем при этом изменить знак неравенства):

2 sin(4x) > sin²(4x).

Шаг 3: Приведем неравенство к стандартному виду.

Переносим все слагаемые в одну сторону:

sin²(4x) - 2 sin(4x) < 0.

Шаг 4: Решаем квадратное неравенство.

Обозначим sin(4x) как t. Тогда неравенство принимает вид:

t² - 2t < 0.

Факторизуем:

t(t - 2) < 0.

Шаг 5: Находим корни и определяем промежутки.

• Корни уравнения t(t - 2) = 0: t = 0 и t = 2.

Теперь определим знаки на промежутках, образованных корнями:

• Для t < 0: t(t - 2) > 0.
• Для 0 < t < 2: t(t - 2) < 0.
• Для t > 2: t(t - 2) > 0.

Таким образом, неравенство t(t - 2) < 0 выполняется на промежутке:

0 < t < 2.

Шаг 6: Возвращаемся к исходной переменной.

Теперь подставим обратно sin(4x):

0 < sin(4x) < 2.

Поскольку sin(4x) не может превышать 1, мы можем упростить это до:

0 < sin(4x) < 1.

Шаг 7: Определяем промежутки для x.

Согласно свойствам функции синуса, неравенство sin(4x) > 0 выполняется на интервалах:

• (0, π) + k·2π, где k – целое число.

А неравенство sin(4x) < 1 выполняется для всех x.

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ (0, π/4) + k·π/2, где k – целое число.