Как можно решить неравенство 2²ˣ⁻¹ + 2²ˣ⁻² + 2²ˣ⁻³ ≥ 448?

Пожалуйста, помогите с решением.

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией неравенство алгебра решение неравенства 2²ˣ⁻¹ 2²ˣ⁻² 2²ˣ⁻³ математические задачи 11 класс Помощь с алгеброй обучение алгебре Новый

Для решения неравенства 2²ˣ⁻¹ + 2²ˣ⁻² + 2²ˣ⁻³ ≥ 448, начнем с упрощения левой части неравенства.

Обозначим 2²ˣ как t. Тогда мы можем переписать каждое слагаемое:

• 2²ˣ⁻¹ = t/2
• 2²ˣ⁻² = t/4
• 2²ˣ⁻³ = t/8

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

(t/2) + (t/4) + (t/8) ≥ 448

Теперь найдем общий знаменатель для левой части. Общий знаменатель для 2, 4 и 8 равен 8. Перепишем каждое слагаемое с общим знаменателем:

• (t/2) = 4t/8
• (t/4) = 2t/8
• (t/8) = t/8

Теперь складываем все слагаемые:

(4t/8) + (2t/8) + (t/8) = (4t + 2t + t) / 8 = 7t/8

Теперь подставим это в неравенство:

7t/8 ≥ 448

Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дроби (помним, что 8 положительное, поэтому знак неравенства не изменится):

7t ≥ 3584

Теперь делим обе стороны на 7:

t ≥ 512

Теперь вспомним, что t = 2²ˣ. Подставляем обратно:

2²ˣ ≥ 512

Заметим, что 512 можно представить как 2¹⁰. Таким образом, у нас получается:

2²ˣ ≥ 2¹⁰

Теперь так как основание (2) одинаковое, можем сравнить показатели:

2ˣ ≥ 10

Теперь делим обе стороны на 2:

ˣ ≥ 5

Таким образом, решение неравенства:

ˣ ≥ 5

Итак, ответ: x ≥ 5.