Как можно решить неравенство 2x(x-1) < 3(x+1)?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с переменной алгебраические неравенства методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство 2x(x-1) < 3(x+1), давайте сначала упростим его. Начнем с того, что перенесем все члены на одну сторону неравенства:

1. Раскроем скобки:
• Слева: 2x(x - 1) = 2x^2 - 2x
• Справа: 3(x + 1) = 3x + 3
2. Теперь подставим это в неравенство:
• 2x^2 - 2x < 3x + 3
3. Переносим все члены на одну сторону:
• 2x^2 - 2x - 3x - 3 < 0
• Это упрощается до: 2x^2 - 5x - 3 < 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство 2x^2 - 5x - 3 < 0. Следующим шагом будет найти корни соответствующего квадратного уравнения 2x^2 - 5x - 3 = 0.

1. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
2. Здесь a = 2, b = -5, c = -3. Подставим значения:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49
3. Теперь находим корни:
• x1 = (5 + √49) / (2 * 2) = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3
• x2 = (5 - √49) / (2 * 2) = (5 - 7) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Итак, корни уравнения: x1 = 3 и x2 = -0.5. Теперь мы можем использовать эти корни для определения промежутков, на которых функция 2x^2 - 5x - 3 принимает значения меньше нуля.

1. Разделим числовую ось на три промежутка, используя найденные корни:
• (-∞, -0.5)
• (-0.5, 3)
• (3, +∞)
2. Теперь выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в неравенство 2x^2 - 5x - 3:
• Для промежутка (-∞, -0.5), возьмем x = -1:
• 2(-1)^2 - 5(-1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 (больше 0)
• Для промежутка (-0.5, 3), возьмем x = 0:
• 2(0)^2 - 5(0) - 3 = -3 (меньше 0)
• Для промежутка (3, +∞), возьмем x = 4:
• 2(4)^2 - 5(4) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 (больше 0)

Таким образом, функция 2x^2 - 5x - 3 < 0 на промежутке (-0.5, 3).

Ответ: Решением неравенства 2x(x-1) < 3(x+1) является промежуток x ∈ (-0.5, 3).