Как можно решить неравенство 3*|x+2|+|2x-2| >= 3x+12?

Алгебра 11 класс Неравенства с модулями решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с модулями математические неравенства методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство 3*|x+2| + |2x-2| >= 3x + 12, начнем с анализа модулей. Модули меняют свое значение в зависимости от того, в какой части числовой прямой находится x.

Первый модуль |x+2| меняет свое значение при x = -2, а второй модуль |2x-2| меняет свое значение при x = 1. Таким образом, мы выделим три интервала, на которых будем рассматривать неравенство:

• Интервал 1: x < -2
• Интервал 2: -2 ≤ x < 1
• Интервал 3: x ≥ 1

Теперь рассмотрим каждую из этих областей отдельно.

1. Интервал 1: x < -2

В этом интервале оба модуля имеют отрицательные значения:

• |x+2| = -(x+2) = -x - 2
• |2x-2| = -(2x-2) = -2x + 2

Подставим это в неравенство:

3*(-x - 2) + (-2x + 2) >= 3x + 12

Упрощаем:

-3x - 6 - 2x + 2 >= 3x + 12

-5x - 4 >= 3x + 12

-5x - 3x >= 12 + 4

-8x >= 16

x <= -2

Поскольку мы рассматриваем интервал x < -2, это неравенство выполняется для всех x < -2.

2. Интервал 2: -2 ≤ x < 1

В этом интервале первый модуль положителен, а второй отрицателен:

• |x+2| = x + 2
• |2x-2| = -(2x-2) = -2x + 2

Подставляем в неравенство:

3*(x + 2) + (-2x + 2) >= 3x + 12

Упрощаем:

3x + 6 - 2x + 2 >= 3x + 12

x + 8 >= 3x + 12

8 >= 2x + 12

-4 >= 2x

x <= -2

Поскольку мы рассматриваем интервал -2 ≤ x < 1, это неравенство выполняется только для x = -2.

3. Интервал 3: x ≥ 1

В этом интервале оба модуля положительны:

• |x+2| = x + 2
• |2x-2| = 2x - 2

Подставляем в неравенство:

3*(x + 2) + (2x - 2) >= 3x + 12

Упрощаем:

3x + 6 + 2x - 2 >= 3x + 12

5x + 4 >= 3x + 12

5x - 3x >= 12 - 4

2x >= 8

x >= 4

Это неравенство выполняется для всех x ≥ 4.

Теперь объединим результаты из всех интервалов:

• Для интервала 1: x < -2
• Для интервала 2: x = -2
• Для интервала 3: x ≥ 4

Таким образом, окончательный ответ: x ≤ -2 или x ≥ 4.