Сколько целых решений существует для неравенства |2x-5| - |3x+2| ≥ 3?

Алгебра 11 класс Неравенства с модулями неравенство целые решения алгебра 11 класс модуль математический анализ Новый

Для решения неравенства |2x-5| - |3x+2| ≥ 3, начнем с анализа модулей. Мы можем разбить неравенство на несколько случаев в зависимости от значений выражений внутри модулей.

Сначала определим точки, в которых каждое из выражений становится равным нулю:

• 2x - 5 = 0 ⟹ x = 2.5
• 3x + 2 = 0 ⟹ x = -2/3

Эти значения делят числовую ось на три промежутка:

• x < -2/3
• -2/3 ≤ x < 2.5
• x ≥ 2.5

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно:

1. Промежуток 1: x < -2/3

В этом случае оба выражения внутри модулей отрицательны:

• |2x - 5| = -(2x - 5) = -2x + 5
• |3x + 2| = -(3x + 2) = -3x - 2

Подставим это в неравенство:

-2x + 5 - (-3x - 2) ≥ 3

Упрощаем:

-2x + 5 + 3x + 2 ≥ 3

x + 7 ≥ 3

x ≥ -4

Так как x < -2/3, то в этом промежутке не будет целых решений.

2. Промежуток 2: -2/3 ≤ x < 2.5

Здесь выражение |2x - 5| отрицательное, а |3x + 2| положительное:

• |2x - 5| = -2x + 5
• |3x + 2| = 3x + 2

Подставляем в неравенство:

-2x + 5 - (3x + 2) ≥ 3

Упрощаем:

-2x + 5 - 3x - 2 ≥ 3

-5x + 3 ≥ 3

-5x ≥ 0

x ≤ 0

Таким образом, в этом промежутке x должен быть в диапазоне от -2/3 до 0. Целые решения: -1, 0.

3. Промежуток 3: x ≥ 2.5

В этом случае оба выражения положительны:

• |2x - 5| = 2x - 5
• |3x + 2| = 3x + 2

Подставим это в неравенство:

2x - 5 - (3x + 2) ≥ 3

Упрощаем:

2x - 5 - 3x - 2 ≥ 3

-x - 7 ≥ 3

-x ≥ 10

x ≤ -10

Но так как x ≥ 2.5, то в этом промежутке также нет целых решений.

Теперь подведем итог:

• В первом промежутке нет целых решений.
• Во втором промежутке целые решения: -1, 0.
• В третьем промежутке нет целых решений.

Ответ: Всего существует 2 целых решения: -1 и 0.