Как можно решить неравенство 4^(x-1) + 2^(x-2) - 3/2 ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с показателями решение неравенства алгебра 11 класс 4^(x-1) 2^(x-2) неравенство ≥ 0 Новый

Чтобы решить неравенство 4^(x-1) + 2^(x-2) - 3/2 ≥ 0, начнем с преобразования выражения. Заметим, что 4 можно выразить через 2:

• 4^(x-1) = (2^2)^(x-1) = 2^(2(x-1)) = 2^(2x-2).
• 2^(x-2) остается без изменений.

Теперь подставим это в неравенство:

2^(2x-2) + 2^(x-2) - 3/2 ≥ 0.

Для удобства, давайте сделаем замену переменной. Пусть y = 2^(x-2). Тогда:

• 2^(2x-2) = (2^(x-2))^2 = y^2,
• 2^(x-2) = y.

Теперь неравенство выглядит так:

y^2 + y - 3/2 ≥ 0.

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:

2y^2 + 2y - 3 ≥ 0.

Теперь решим квадратное неравенство 2y^2 + 2y - 3 ≥ 0. Для этого найдем корни соответствующего уравнения:

2y^2 + 2y - 3 = 0.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 2, b = 2, c = -3. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 2 * (-3) = 4 + 24 = 28.

Теперь найдем корни:

• y = (-2 ± √28) / (2 * 2) = (-2 ± 2√7) / 4 = (-1 ± √7) / 2.

Таким образом, корни уравнения:

• y1 = (-1 + √7) / 2,
• y2 = (-1 - √7) / 2.

Теперь определим, где выражение 2y^2 + 2y - 3 ≥ 0. Квадратный трехчлен меняет знак в корнях. Так как a = 2 > 0, то парабола открыта вверх. Следовательно:

• 2y^2 + 2y - 3 ≥ 0 для y ≤ (-1 - √7) / 2 или y ≥ (-1 + √7) / 2.

Теперь вернемся к переменной y = 2^(x-2). Поскольку 2^(x-2) всегда положительно, нас интересует только неравенство:

2^(x-2) ≥ (-1 + √7) / 2.

Теперь решим это неравенство. Применим логарифм:

x - 2 ≥ log2((-1 + √7) / 2).

Следовательно:

x ≥ log2((-1 + √7) / 2) + 2.

Теперь мы можем найти конкретное значение. Для этого вычислим log2((-1 + √7) / 2) и добавим 2. Однако, для практики можно оставить ответ в таком виде:

Ответ: x ≥ log2((-1 + √7) / 2) + 2.