Как найти решение неравенства 1/27 ≤ 3^(2-x) ≤ 81?

Алгебра 11 класс Неравенства с показателями решение неравенства алгебра 11 класс неравенства 1/27 ≤ 3^(2-x) ≤ 81 Новый

Чтобы решить неравенство 1/27 ≤ 3^(2-x) ≤ 81, начнем с того, что преобразуем каждую часть неравенства, чтобы упростить его. Мы знаем, что 1/27 и 81 можно выразить через степень числа 3:

• 1/27 = 3^(-3)
• 81 = 3^4

Теперь можем переписать неравенство:

3^(-3) ≤ 3^(2-x) ≤ 3^4

Так как у нас одинаковое основание (число 3), мы можем сравнивать показатели степени. Это возможно, потому что основание больше 1, что означает, что неравенства сохраняются. Теперь разложим это на два отдельных неравенства:

1. 3^(-3) ≤ 3^(2-x)
2. 3^(2-x) ≤ 3^4

Решим первое неравенство:

3^(-3) ≤ 3^(2-x)

Сравниваем показатели:

-3 ≤ 2 - x

Теперь решим это неравенство относительно x:

• Добавим x к обеим сторонам: -3 + x ≤ 2
• Теперь добавим 3 к обеим сторонам: x ≤ 5

Таким образом, мы получили первое ограничение: x ≤ 5.

Теперь решим второе неравенство:

3^(2-x) ≤ 3^4

Сравниваем показатели:

2 - x ≤ 4

Теперь также решим это неравенство относительно x:

• Добавим x к обеим сторонам: 2 ≤ 4 + x
• Теперь вычтем 4 из обеих сторон: -2 ≤ x

Таким образом, мы получили второе ограничение: x ≥ -2.

Теперь мы имеем два условия:

• x ≤ 5
• x ≥ -2

Объединяя эти два условия, мы получаем окончательное решение:

-2 ≤ x ≤ 5

Это и есть решение нашего неравенства.