Как решить неравенство: 1/2^(x^2 + x - 2) < 4^(x - 1)?

Алгебра 11 класс Неравенства с показателями решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с дробями неравенства с степенями математические задачи алгебраические выражения метод решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство 1/2^(x^2 + x - 2) < 4^(x - 1), начнем с приведения обеих сторон неравенства к одной базе. Заметим, что 4 можно выразить через 2: 4 = 2^2. Таким образом, мы можем переписать 4^(x - 1) как (2^2)^(x - 1) = 2^(2(x - 1)) = 2^(2x - 2).

Теперь наше неравенство выглядит так:

1/2^(x^2 + x - 2) < 2^(2x - 2).

Следующий шаг — избавимся от дроби. Для этого умножим обе стороны неравенства на 2^(x^2 + x - 2), но при этом нужно помнить, что если мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

Итак, умножаем обе стороны:

• 1 < 2^(2x - 2) * 2^(x^2 + x - 2)

Теперь объединим степени с одинаковой базой:

• 1 < 2^(2x - 2 + x^2 + x - 2)

Упрощаем правую часть:

• 1 < 2^(x^2 + 3x - 4).

Теперь мы можем переписать неравенство так:

• 2^0 < 2^(x^2 + 3x - 4).

Поскольку база 2 положительна, можем сравнить показатели:

• 0 < x^2 + 3x - 4.

Теперь решим квадратное неравенство x^2 + 3x - 4 > 0. Для этого сначала найдем корни уравнения x^2 + 3x - 4 = 0. Используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.

Корни будут:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + 5) / 2 = 1.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - 5) / 2 = -4.

Теперь у нас есть корни x1 = 1 и x2 = -4. Квадратное неравенство x^2 + 3x - 4 > 0 будет выполняться вне интервала, образованного этими корнями. То есть:

• x < -4 или x > 1.

Таким образом, решение неравенства 1/2^(x^2 + x - 2) < 4^(x - 1) — это объединение интервалов:

• x < -4
• или
• x > 1.

Ответ: x < -4 или x > 1.