Как можно решить неравенство 4^{x} - 6*2^{x} + 8 ≥ 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с показательной функцией методы решения неравенств 4^x - 6*2^x + 8 ≥ 0 Новый

Для решения неравенства 4^{x} - 6*2^{x} + 8 ≥ 0, начнем с упрощения выражения. Заметим, что 4^{x} можно представить как (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}. Таким образом, мы можем сделать замену:

• Пусть y = 2^{x}. Тогда 4^{x} = y^{2} и 2^{x} = y.

Теперь перепишем неравенство с использованием этой замены:

y^{2} - 6y + 8 ≥ 0.

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y^{2} - 6y + 8 = 0.

Используем формулу дискриминанта:

• Дискриминант D = b^{2} - 4ac = (-6)^{2} - 4*1*8 = 36 - 32 = 4.

Теперь найдем корни уравнения:

• y_{1} = (6 + √4) / 2 = (6 + 2) / 2 = 4.
• y_{2} = (6 - √4) / 2 = (6 - 2) / 2 = 2.

Теперь мы имеем два корня: y = 2 и y = 4. Чтобы решить неравенство y^{2} - 6y + 8 ≥ 0, нужно определить знаки выражения на интервалах, определяемых корнями:

• Интервал 1: (-∞, 2)
• Интервал 2: (2, 4)
• Интервал 3: (4, +∞)

Теперь проверим знак выражения в каждом из интервалов:

• Для x < 2, например, y = 1: 1^{2} - 6*1 + 8 = 3 (положительно).
• Для 2 < x < 4, например, y = 3: 3^{2} - 6*3 + 8 = -1 (отрицательно).
• Для x > 4, например, y = 5: 5^{2} - 6*5 + 8 = 3 (положительно).

Таким образом, выражение y^{2} - 6y + 8 ≥ 0 верно на интервалах:

• y ∈ (-∞, 2] и y ∈ [4, +∞).

Теперь вернемся к переменной x. Помним, что y = 2^{x}. Найдем соответствующие значения x:

• Для y ≤ 2: 2^{x} ≤ 2, что означает x ≤ 1.
• Для y ≥ 4: 2^{x} ≥ 4, что означает x ≥ 2.

Таким образом, решение неравенства 4^{x} - 6*2^{x} + 8 ≥ 0 будет:

x ∈ (-∞, 1] ∪ [2, +∞).