Чтобы решить неравенство 5 - 2x / (x + 4) ≥ 0, следуем следующим шагам:

1. Приведем неравенство к общему знаменателю. Для этого нам нужно выразить левую часть неравенства с общим знаменателем. Общий знаменатель будет (x + 4). Запишем неравенство в виде:
• (5 * (x + 4) - 2x) / (x + 4) ≥ 0
2. Упростим числитель. Раскроем скобки в числителе:
• 5 * (x + 4) = 5x + 20
• Таким образом, числитель будет: 5x + 20 - 2x = 3x + 20
3. Теперь запишем неравенство:
• (3x + 20) / (x + 4) ≥ 0
4. Найдем нули числителя и знаменателя. Для этого решим уравнения:
• 3x + 20 = 0 → 3x = -20 → x = -20/3
• x + 4 = 0 → x = -4
5. Определим знаки выражения. Мы знаем, что дробь изменяет знак в точках, где числитель или знаменатель равен нулю. Нам нужно проверить знаки на интервалах, разделённых найденными точками:
• Интервал 1: (-∞, -20/3)
• Интервал 2: (-20/3, -4)
• Интервал 3: (-4, +∞)
6. Проверим знак выражения в каждом интервале:
• Для x < -20/3, например, x = -7: (3*(-7) + 20) / (-7 + 4) = (-21 + 20) / (-3) = -1 / -3 > 0
• Для -20/3 < x < -4, например, x = -5: (3*(-5) + 20) / (-5 + 4) = (-15 + 20) / (-1) = 5 / -1 < 0
• Для x > -4, например, x = 0: (3*0 + 20) / (0 + 4) = 20 / 4 > 0
7. Соберем результаты: Мы видим, что выражение положительно на интервалах:
• (-∞, -20/3)
• (-4, +∞)
8. Не забываем о границах: В точках x = -20/3 и x = -4 выражение равно нулю или неопределено. Поскольку в неравенстве стоит знак ≥, мы включаем x = -20/3, но исключаем x = -4.

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ [-20/3, -4) ∪ (-4, +∞)