Как можно решить неравенство (8/9)^(6x^2 + x) <= 64/81?

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с дробями математические неравенства примеры неравенств алгебраические методы решения Новый

Для решения неравенства (8/9)^(6x^2 + x) < 1, начнем с анализа основания степени. Поскольку 8/9 < 1, то функция (8/9)^y будет убывающей для y > 0 и возрастающей для y < 0. Это значит, что неравенство (8/9)^(6x^2 + x) < 1 будет выполняться, когда показатель степени (6x^2 + x) > 0.

Теперь нам нужно решить неравенство:

6x^2 + x > 0

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения 6x^2 + x = 0:

1. Вынесем x за скобки:
2. 6x^2 + x = x(6x + 1) = 0
3. Таким образом, у нас есть два корня:
• x = 0
• 6x + 1 = 0, что дает x = -1/6

Теперь у нас есть два корня: x = 0 и x = -1/6. Эти корни разделяют числовую прямую на три интервала:

• x < -1/6
• -1/6 < x < 0
• x > 0

Теперь проверим знак выражения 6x^2 + x на каждом из этих интервалов:

1. Для x < -1/6 (например, x = -1):
• 6(-1)^2 + (-1) = 6 - 1 = 5 > 0
2. Для -1/6 < x < 0 (например, x = -1/12):
• 6(-1/12)^2 + (-1/12) = 6*(1/144) - 1/12 = 1/24 - 1/12 = 1/24 - 2/24 = -1/24 < 0
3. Для x > 0 (например, x = 1):
• 6(1)^2 + 1 = 6 + 1 = 7 > 0

Таким образом, 6x^2 + x > 0 на интервалах:

• x < -1/6
• x > 0

Теперь запишем окончательный ответ:

x < -1/6 или x > 0