Как можно решить неравенство (х+9)(х-5)^2(х-18) >= 0?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с произведением график неравенства методы решения неравенств Новый

Для решения неравенства (х+9)(х-5)^2(х-18) >= 0, следуем следующим шагам:

1. Найдем нули функции:

   Неравенство будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

   • х + 9 = 0 → х = -9
   • х - 5 = 0 → х = 5 (учитываем, что этот множитель возводится в квадрат, значит он не меняет знак)
   • х - 18 = 0 → х = 18

   Таким образом, нули функции: х = -9, х = 5, х = 18.

2. Построим числовую прямую:

   Отметим найденные нули на числовой прямой:

   ... -9 ... 5 ... 18 ...

3. Определим знаки на интервалах:

   Теперь нужно проверить знак произведения на каждом интервале, образованном найденными нулями. Интервалы будут следующие:

   • (-∞, -9)
   • (-9, 5)
   • (5, 18)
   • (18, +∞)

   Проверим знак функции в каждом из интервалов:

   • Для интервала (-∞, -9): выберем, например, х = -10
     • (-10 + 9)(-10 - 5)^2(-10 - 18) = (-1)(25)(-28) > 0
   • Для интервала (-9, 5): выберем х = 0
     • (0 + 9)(0 - 5)^2(0 - 18) = (9)(25)(-18) < 0
   • Для интервала (5, 18): выберем х = 10
     • (10 + 9)(10 - 5)^2(10 - 18) = (19)(25)(-8) < 0
   • Для интервала (18, +∞): выберем х = 20
     • (20 + 9)(20 - 5)^2(20 - 18) = (29)(225)(2) > 0

   Таким образом, знаки на интервалах:

   • (-∞, -9): > 0
   • (-9, 5): < 0
   • (5, 18): < 0
   • (18, +∞): > 0
4. Составим ответ:

   Неравенство (х+9)(х-5)^2(х-18) >= 0 выполняется на интервалах, где знак положителен или равен нулю. Это происходит на интервалах:

   • (-∞, -9]
   • [5] (так как 5 - это корень с четной степенью, он не меняет знак)
   • [18, +∞)

   Таким образом, окончательный ответ:

   х ∈ (-∞, -9] ∪ {5} ∪ [18, +∞)