Как можно решить неравенство из упражнений A 19.1, применяя метод интервалов для пунктов 1), 3) и 5)?

Алгебра 11 класс Неравенства решение неравенства метод интервалов алгебра 11 класс упражнения A 19.1 пункты 1 3 5 Новый

Для решения неравенств с помощью метода интервалов, мы будем следовать следующим шагам:

1. Запишите неравенство. Начнем с того, что нужно четко сформулировать неравенство, которое мы будем решать. Например, пусть это будет неравенство вида f(x) > 0 или f(x) < 0.
2. Найдите нули функции. Определите, при каких значениях x функция f(x) равна нулю. Это можно сделать, решив уравнение f(x) = 0. Эти значения будут делить числовую ось на интервалы.
3. Определите интервалы. На основании найденных нулей функции, разбейте числовую ось на интервалы. Например, если нули находятся в точках a и b, то интервалы будут следующими: (-∞, a), (a, b) и (b, +∞).
4. Выберите тестовые точки. Для каждого из интервалов выберите тестовую точку (любое число, принадлежащее интервалу). Это поможет определить знак функции f(x) на каждом из интервалов.
5. Подставьте тестовые точки в функцию. Подставьте выбранные тестовые точки в функцию f(x) и определите, положительна ли функция в каждом из интервалов.
6. Сделайте вывод. На основе знаков функции на интервалах, найдите, в каких интервалах выполняется заданное неравенство (например, f(x) > 0 или f(x) < 0). Запишите ответ в виде объединения интервалов.

Теперь давайте применим этот метод к конкретным пунктам из упражнения A 19.1:

1) Пример неравенства: Допустим, у нас есть неравенство x^2 - 4 < 0.

• Нули функции: x^2 - 4 = 0 => x = -2, x = 2.
• Интервалы: (-∞, -2), (-2, 2), (2, +∞).
• Тестовые точки: -3 (интервал (-∞, -2)), 0 (интервал (-2, 2)), 3 (интервал (2, +∞)).
• Знаки: f(-3) = 5 (положительно), f(0) = -4 (отрицательно), f(3) = 5 (положительно).
• Вывод: Неравенство выполняется на интервале (-2, 2).

3) Пример неравенства: Пусть у нас есть неравенство x^3 - 3x < 0.

• Нули функции: x^3 - 3x = 0 => x(x^2 - 3) = 0 => x = 0, x = -√3, x = √3.
• Интервалы: (-∞, -√3), (-√3, 0), (0, √3), (√3, +∞).
• Тестовые точки: -2, -1, 1, 2.
• Знаки: f(-2) = -2 (отрицательно), f(-1) = 2 (положительно), f(1) = -2 (отрицательно), f(2) = 2 (положительно).
• Вывод: Неравенство выполняется на интервалах (-∞, -√3) и (0, √3).

5) Пример неравенства: Рассмотрим неравенство 2x^2 - 8 > 0.

• Нули функции: 2x^2 - 8 = 0 => x^2 = 4 => x = -2, x = 2.
• Интервалы: (-∞, -2), (-2, 2), (2, +∞).
• Тестовые точки: -3, 0, 3.
• Знаки: f(-3) = 6 (положительно), f(0) = -8 (отрицательно), f(3) = 6 (положительно).
• Вывод: Неравенство выполняется на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞).

Таким образом, с помощью метода интервалов мы можем эффективно решать неравенства, разбивая их на интервалы и анализируя знак функции на каждом из них.