Как можно решить неравенство sin²x + 2sinx < 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с тригонометрическими функциями неравенство решение неравенства алгебра 11 класс sin2x sinx математический анализ тригонометрические функции неравенства в алгебре Новый

Для решения неравенства sin²x + 2sinx < 0, давайте начнем с того, что упростим его. Мы можем сделать замену переменной: пусть y = sinx. Тогда неравенство примет вид:

y² + 2y < 0

Теперь мы можем решить это неравенство. Сначала перенесем все члены на одну сторону:

y² + 2y = 0

Теперь мы можем вынести y за скобки:

y(y + 2) < 0

Теперь найдем корни этого уравнения:

• y = 0
• y + 2 = 0, что дает y = -2

Теперь у нас есть два корня: y = 0 и y = -2. Чтобы определить, на каких интервалах выражение y(y + 2) меньше нуля, рассмотрим три интервала, которые определяются корнями:

• (-∞, -2)
• (-2, 0)
• (0, +∞)

Теперь проверим знак выражения y(y + 2) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -2): возьмем, например, y = -3. Тогда -3 * (-3 + 2) = -3 * (-1) = 3 (положительно).
2. Для интервала (-2, 0): возьмем, например, y = -1. Тогда -1 * (-1 + 2) = -1 * 1 = -1 (отрицательно).
3. Для интервала (0, +∞): возьмем, например, y = 1. Тогда 1 * (1 + 2) = 1 * 3 = 3 (положительно).

Таким образом, выражение y(y + 2) < 0 на интервале (-2, 0).

Теперь вернемся к нашей замене y = sinx. Мы знаем, что sinx может принимать значения только в диапазоне [-1, 1]. Поэтому из интервала (-2, 0) мы можем взять только ту часть, которая пересекается с [-1, 1], а именно (-1, 0).

Теперь найдем, при каких значениях x выполняется неравенство sinx < 0. Это происходит в следующих интервалах:

• nπ < x < (n + 1)π, где n — целое число.

Таким образом, окончательный ответ на неравенство sin²x + 2sinx < 0 будет:

x ∈ (nπ, (n + 1)π), где n — целое число, и sinx ∈ (-1, 0).